惠州市2015届高三模拟考试

数 学 试 题 (文科） 2015.04

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
为锥体的底面积，
为锥体的高.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1．已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若函数
是函数
的反函数，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知点
，
和向量a
，若a//
，则实数
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知数列
为等差数列，且
，
，则
（ ）

A．45 B．43 C． 40 D．42

5．下列函数中周期为
且为偶函数的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

6．已知某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为 ( )

A．
B．
C．
D．

7．已知椭圆与双曲线
的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和

为
，那么椭圆的离心率等于 ( )

A．
B．
C．
D．
[

8．执行如图的程序框图，输出的
= （ ）

A．30 B．25 C．20 D．12

9．若变量
，
满足约束条件
，

则
的最大值等于 （ ）

A．
B．
C．11 D．10

10. 若直角坐标平面内的两个不同点
、
满足条件：①
、
都在函数
的图像上；②
、
关于原点对称，则称点对
是函数
的一对“友好点对”（注：点

对
与
看作同一对“友好点对”）．已知函数
=
，则此函

数的“友好点对”有 （ ） 对．

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题：本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分．

（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

11．计算：
= ．（
为虚数单位）

12．函数
在
处取得极小值.

13．设
，若
是
与
的等比中项，则
的最小值为 ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆
的圆心到直线
的

距离是 .

15．（几何证明选做题）如图，
是圆
的直径，点
在圆
上，

延长
到
使
，过
作圆
的切线交
于
.

若
，
，则
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分12分）

已知函数

的最小正周期为
，且
.

(1) 求
的表达式；

(2) 设
，
，
，求
的值.

17.（本小题满分12分）

某班
名学生在一次百米测试中，成绩全部介于
秒与
秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组
，第二组
，…，第五组
，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

(1) 根据频率分布直方图，估计这
名学生百米测试成绩的平均值；

(2) 若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于
的概率.

18．（本小题满分14分）

如图所示，在所有棱长都为
的三棱柱
中，侧棱
，
点为棱
的中点．

(1)求证：
∥平面
；

(2)求四棱锥
的体积．

19．（本小题满分14分）

若正项数列
的前
项和为
，首项
，点
（
）在曲线
上.源:

(1)求数列
的通项公式
；

(2)设
，
表示数列
的前
项和，求证：
.

20.（本小题满分14分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在
轴上，离心率为
，且经过点
. 直线
交椭圆于不同的两点
.

(1)求椭圆的方程；

(2)求
的取值范围；

(3)若直线
不过点
，求证：直线
与
轴围成一个等腰三角形.

21.（本小题满分14分）

已知
，函数
．

(1)求
的单调区间；

(2)证明：当
时，
．

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( 文科数学)参考答案和评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

C

D

B

C

B

A

D

B





1．B 【解析】试题分析：由题根据集合
，不难求得A,B的交集；由题

2．A 【解析】试题分析：根据互为反函数的两个函数间的关系，原函数中
时，
，

故反函数中当
时
，即

3．C 【解析】试题分析：根据A、B两点的坐标可得
＝（3，1），∵
∥
，∴
，

解得

4．D 【解析】试题分析：
，

5．B 【解析】试题分析：由于周期为
，故排除C,D；又由于是偶函数，而选项A，函数

，故排除A，又选项B，
是偶函数

6．C 解析:由三视图易知，该几何体是底面积为
，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得

7．B 【解析】
，
，

8．A 【解析】由题意可知，第一次循环S=5，n=2，T=2，不满足T>S；第二次循环，S=10，n=4，T=2+4=6，

不满足T>S；第三次循环，S=15，n=6，T=12，不满足T>S；第四次循环，S=20，n=8，T=20，

不满足T>S；第五次循环，S=25，n=10，T=30，满足T>S；结束，此时T=30，故选A

9．D 【解析】作出不等式组对应的平面图象如下图的阴影部分，
表示斜率为
的直线系，
表示直线在
轴上的截距，由图象可知当直线过
点时
取得最大值，最大值为

10．B 【解析】根据题意可知只须作出函数

的图象关于原点对称的图象，确定它与函数

交点个数即可,由图象可知，只有一个交点．

二．填空题

11．
12．
13．
14．
15．

11．【解析】 因为
.

12．【解析】 由
得：
，列表得：





























↗

极大值

↘

极小值

↗



所以在
处取得极小值.

13．【解析】 由题意知
，又
，

所以

，所以
的最小值为
.

14．【解析】 如下图:
.

15. 【解析】 如下图:
，得
.

三．解答题

16. （本小题满分12分）

解：(1)依题意得
，∴
， ……………………2分

由
，得
，即
，∴
, ……………………4分

∴
……………………5分

(2) 由
，得
，

即
，∴
， ……………………6分

又∵
，∴
， ……………………7分

由
，得
，

即
，∴
， ……………………9分

又∵
，∴
， ……………………10分

……………………12分

17．解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，百米测试成绩的平均值为

……………………… 5分

（Ⅱ）由频率分布直方图知，成绩在
的人数为
人，设为
、
、
；

成绩在
的人数为
人，设为
、
、
、
………………………6分

若
时，有

种情况； ……………………7分

若
时，有

种情况； ……………………8分

若
分别在
和
内时，

A

B

C

D



x

xA

xB

xC

xD



y

yA

yB

yC

yD



z

zA

zB

zC

zD



共有
种情况. ……………………10分

所以基本事件总数为
种，事件“
”所包含的基本事件个数有
种。

∴
（
）
。 ………………………12分

18、(本题满分14分)

解：(1)连结
，设
与
交于点
，…………1分

则点
是
的中点，连结
，…………2分

因为
点为
的中点，

所以
是
的中位线，

所以
∥
， ………………4分

因为
平面
，
面
，………5分

所以
∥平面
. ………………6分

(2)取线段
中点
，连结
， ………………7分

∵
，点
为线段
中点，

∴

. ………………9分

又
平面

即
平面
，
平