2015年淮北市高三第二次模拟考试

数学 试题 （理科）

满分150分 时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用0.5mm的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。

第I卷 选择题 （共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．

1．已知复数
（i为虚数单位），则
（ ）

A．25 B．
C．5 D．

2. 设函数
，则其导函数
是 （ ）

A．最小正周期为
的奇函数 B．最小正周期为
的偶函数

C．最小正周期为
的偶函数 D．最小正周期为
的奇函数

3.已知圆
，直线
；则：
是
上恰有不同四点到
的距离为
的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 如果等差数列
中，
，
，则
（ ）

A. -11 B. 10 C. 11 D. -10

5．若变量
满足约束条件
，则
的最大值是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

6. 执行如图所示的程序框图，则输出的λ是 (　　)．

A．－4 B．－2 C．0 D．－2或0

7．若
，
，则
的最小值是 （ ）

A．
B．3 C．
D． 4

8．函数
的最大值是 （ ）

A．
B．1 C．
D．2

9．已知
,则
( )

A．
B．
C．
D．

10.已知平面向量满足：
,若
,则
的取值范围是（ ）

A
B
C
D

第（II）卷 非选择题（100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

11．设随机变量X服从正态分布N（3，1），且
，则

12．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为

13. 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是

14. 已知曲线
与曲线
相交于
两点，又原点
,则

15、在
中，内角A，B，C的所对边分别是
有如下下列命题：

①若
，则
；

②若
，则△ABC为等边三角形；

③若
，则△ABC为等腰三角形；

④若
，则△ABC为钝角三角形；

⑤存在
，使得
成立.

其中正确的命题为__________________（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

已知函数
，
.

求: (I) 函数
的单调增区间；

(II)若
，求函数
的值域.

17. （本小题满分12分）

某校一个研究性学习小组从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为
，于是该学习小组分成两个小组进行验证性实验：

（Ⅰ）第一个小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；

（Ⅱ）第二个小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次试验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验次数不超过5次。求这一小组所做的种子发芽实验次数X的分布列和数学期望.

18. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
,PA⊥平面ABCD，
，
,，
分别是
的中点.

(Ⅰ)证明：直线
平面
；

(Ⅱ)求平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积
.

19. （本小题满分12分）

已知函数
，又数列
中，
，该数列的前
项和记为
，对所有大于1的自然数
都有
.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）记
，
其前
项和为
，证明：
.

20. （本小题满分13分）

已知椭圆：
的左、右焦点分别为
，
是此椭圆上的一动点，并且
的取值范围是
.

（Ⅰ）求此椭圆的标准方程；

（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线
与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是此椭圆上两点，并且满足
，求证：向量
与
共线.

21（本小题满分14分）

设函数
.

（Ⅰ） 求
的极值；

（Ⅱ）设
，若对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围；

（III）若
，证明：
.

2015年淮北市高三第二次模拟考试

数学参考答案（理科）

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

B

A

B

B

D

C

A

C





二、填空题

11.
12.

13. 49 14.

15. (1)(2)(4)

三、解答题

16. （本小题满分12分）

解：(I)
，

令

解得：

的单调增区间为：

(II)由
知：

从而有：
，

故：

因此：函数
的值域：

17. （本小题满分12分）

.(1)法一：P=



；

法二：P=1－

（



。

(2)随机变量X的可能取值为：1
、2、3、4、5；

P(X=1)=
; P(X=2)=
; P(X=3)=
; P(X=4)=
; P(X=5)=
;

则随机变量X的分布列为:

X

1

2

3

4

5



P














.

18. （本小题满分12分）

解：(Ⅰ)以
原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴建立如图的空间直角坐标系，则：
，
,
,
,
,

,
,

,且
面
所以，直线
平面

(Ⅱ)设
是面MNC的一个法向量，则

取
，得

故平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值

（Ⅲ）
,
,
,
,
,

,设
到面
的距离为
，则

三棱锥
的体积

19. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由
，
知：

又
，
，所以

即：
是以
为首项，
为公差的等差数列

，

进而可得：

（Ⅱ）

20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设
，
，其中
，则
，

从而

由于
，所以
，又
的取值范围是

所以

（Ⅱ）因为
，而
与
的平分线的方向向量平行，所以
的平分线垂直于
轴

由
解得：

不妨设
的斜率为
，则
的斜率为
，因此
和
的方程分别为
，
，由
消去
得：

因为
在椭圆上，所以
是
的一个根

从而
，同理

进而

易求：
,故：

因此，向量
与
共线

21（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
，

令
，解得：
，且当
时
，
时

因此：
的极小值为

（Ⅱ）

令
，则

注意到：
，若要
，必须要求
，即
，亦即

另一方面：当
时，
恒成立；

故实数
的取值范围为：

（III）构造函数
，

，