湛江市2015届高三下学期普通高考测试（二）

数学（文）试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一
人、高二
人、高三
人中抽取
人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是（ ）

A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，

3、已知向量
，
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4、已知
是复数，
是虚数单位，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5、“
”是“直线
与圆
相交”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6、等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7、函数
的一条对称轴是（ ）

A．
B．

C．
D．

8、一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为
的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

9、运行如图的程序框图，若输入的
，则输出的
（ ）

A．
B．
C．
D．

10、对于任意正整数
，定义“
”如下：

当
是偶数时，
；

当
是偶数时，
；

且有
．

则如下四个命题：

①
；②
；

③
的个位数是
；④
的个位数是
．

其中正确的命题有（ ）

A．
个 B．
个 C．
个 D．
个

二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）

（一）必做题（11～13题）

11、若函数
是偶函数，则
．

12、双曲线

的离心率是 ．

13、某所学校计划招聘男教师
名，女教师
名，
和
须满足约束条件
，则该校招聘的教师最多是 名．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14、（坐标系与参数方程选做题）直线
的参数方程为
（
为参数），则直线
的倾斜角是 ．

15、（几何证明选讲选做题）如图，在梯形
中，
，
，
，点
、
分别在
、
上，且
，若
，则
的长是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16、（本小题满分12分）设函数
（
）的最小正周期为
．

求
的值；

记
内角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，且
，求
的值．

17、（本小题满分12分）某学校对学生进行三项身体素质测试，每项测试的成绩有
分、
分、
分，若各项成绩均不小于
分且三项测试分数之和不小于
分的学生，则其身体素质等级记为优秀；若三项测试分数之和小于
分，则该学生身体素质等级记为不合格．随机抽取
名学生的成绩记录如下表：

学生编号























三项成绩

2，1，2

1，2，2

2，3，3

3，1，1

3，2，2

2，3，1

3，3，3

1，1，1

3，3，1

2，2，2




利用上表提供的数据估算该学校学生身体素质的优秀率；

从表中身体素质等级记为不合格的学生中任意抽取
人组成小组加强锻炼，求这
人三项测试总分相同的概率．

18、（本小题满分14分）在边长为
的正方形
中，
、
分别是
、
的中点，
、
分别是
、
的中点．将该正方形沿
、
、
折叠，使
、
、
三点重合，构成一个三棱锥，如图所示．

证明：
平面
；

证明：
平面
；

求四棱锥
的体积．

19、（本小题满分14分）数列
的前
项和记为
，对任意正整数
，均有
，且
．

求
，
的值；

求数列
的通项公式；

若
（
），求数列
的前
项和
．

20、（本小题满分14分）已知以原点
为中心的椭圆
上一点到两焦点
，
的距离之和为
．

求椭圆
的方程；

设
、
是椭圆
上两点，且
，求点
到弦
的距离．

21、（本小题满分14分）已知函数
，
（
为常数，
），且函数
在
处的切线和
在
处的切线互相平行．

求常数
的值；

若存在
使不等式
成立，求实数
的取值范围；

对于函数
和
公共定义域内的任意实数
，把
的值称为两函数在
处的偏差．求证：函数
和
在其公共定义域内的所有偏差都大于
．

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