绝密★启用前 试卷类型：A

2015年深圳市高三年级第二次调研考试

数学（文科） 2015.4

本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．

参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程
的系数公式：
，
，其中
，
是数据的平均数．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.
是虚数单位，复数
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.平面向量
，
，若
，则
等于

A．
B．
C．
D．

3.已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

4.命题
，
，则
为

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

5.已知直线
，平面
，则下列能推出
的条件是

A.
，
B.
，
C.

，
D.
，

6.已知某路口最高限速
，电子监控测得连续
辆汽车的速

度如图1的茎叶图（单位：
）．若从中任取
辆，

则恰好有
辆汽车超速的概率为

A.
B.
C.
D.

7.将函数
的图象向右平移
个单位，得到的图象关于原点对称，则
的

最小正值为

A．
B．
C．
D．

8.已知双曲线的中心在原点，焦点在
轴上，若其渐近线与圆
相切，则

此双曲线的离心率等于

A．
B.
C.
D．

9.如图2所示的程序框图的功能是求
的值，则框图中的①、②两处应

分别填写

A．
，

B．
，

C．
，

D．
，

10.定义在
上的函数
，
单调递增，
，若对任意
，存在
，使得
成立，则称
是
在
上的“追逐函数”.已知
，下列四个函数：①
；②
；③
；④
.其中是
在
上的“追逐函数”的有

A．
个 B.
个 C．
个 D．
个

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为

必做题和选做题两部分．

（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．

11.等差数列
中，
，则
．

12.若实数
满足
，则
的最小值为 ．

13.某几何体的三视图如图3所示，其中俯视图为半径为
的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线
：
（
为参数）与曲线
：
（
为参数）相交于
、
两点，则
_________．

15．（几何证明选讲选做题）如图4，
、
是⊙
的两条

切线，切点分别为
、
．若
，
，

则⊙
的半径为 ．

三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在
中，已知
,
.

（1）求
与
的值；

（2）若角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
，求
，
的值.

17．（本小题满分12分）

是指空气中直径小于或等于
微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与
的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与
的数据如下表：

时间

周一

周二

周三

周四

周五



车流量
（万辆）














的浓度
（微克/立方米）













 （1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；

（2）根据上表数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
；

（3）若周六同一时间段车流量是
万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时
的浓度为多少（保留整数）？

18．（本小题满分14分）

如图5，
是边长为
的等边三角形，
是等腰直角三角形，
，平面

平面
，且
平面
，
.

（1）证明：
平面
；

（2）证明：

.

19．（本小题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，且满足
，
（
）.

（1）求
，
的值；

（2）求数列
的通项公式；

（3）是否存在整数对
，使得等式
成立？若存在，请求出所有满足条件的
；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分14分）

已知平面上的动点
与点
连线的斜率为
，线段
的中点与原点连线的斜率为
，
(
)，动点
的轨迹为
．

（1）求曲线
的方程；

（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：①以曲线
的弦
为直径；

②过点
；③直径
．求
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，且对任意
，都有
.

（1）求
，
的关系式；

（2）若
存在两个极值点
，
，且
，求出
的取值范围并证明
；

（3）在（2）的条件下，判断
零点的个数，并说明理由．

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