江西省六校2015届高三下学期第二次联考

数学（理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）

1、若集合
，

则集合
所有真子集的个数为

A. 3 B. 7 C. 8 D. 15

2、若复数
满足
，则复数
的共轭复数
的虚部为

A．
B．
C．
D．

3、下列函数中,既是偶函数又在区间
上单调递减的是

A．
B.
C.
D.

4、从抛物线
上一点
引抛物线准线的垂线，垂足为
，且
，设抛物线的焦点为
，则

的面积为

A．5 B．10 C．15 D．20

5、已知在平面直角坐标系
上的区域
由不等式组
给定．若
为
上的动点，点
的坐标为
，则
的最大值为

A．
B．
C．
D．

6、以下四个命题中

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；[来源:Zxxk.Com]

②对于命题
：
使得
. 则

：
均有
；

③设随机变量
，若
，则
；

④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1.

其中真命题的个数为[来源:学科网]

A．1 B．2 C．3 　D．4

7、阅读如下程序框图，如果输出
，那么空白的判断框中应填入的条件是

A．
B．
C．
D．

8、某校团委组织“共圆中国梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加最后决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有

A. 36种 B. 72种 C. 144种 D. 288种

9、设函数
,将
的图像向右平移
个单位,使得到的图像关于
对称,则
的最小值为

A.
B.
C.
D.

10、已知
，在区间[0,2]上任取三个数
,均存在以
为边长的三角形，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

11、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个

棱锥的三视图，则此棱锥的体积为

A.
B.
C.
D.8

12、已知双曲线
的左右焦点分别为
，
为双曲线的中心，
是双曲线右支上的点，
的内切圆的圆心为
，且圆
与
轴相切于点
，过
作直线
的垂线，垂足为
，若
为双曲线的离心率,则

A.
B.

C.
D.
与
大小关系不确定

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、已知向量
、
满足
，
，且

，则向量
在向量
方向上

的投影为 .

14、已知

设
，则
= .

15、某校对文明班级的评选设计了
五个方面的多元评价指标,并通过经验公式
来计算各班的综合得分,
的值越高则评价效果越好.若某班在自测过程中各项指标显示出
，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得
的值增加最多，那么该指标应为 .（填入
中的某个字母）[来源:学科网]

16、已知
ABC的三个顶点在以
为球心的球面上，
分别为
的三个内角
的对边,满足
，且
,若三棱锥
的体积为
,则球
的表面积为 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分．）

17、（本小题满分12分）已知数列
的前
项和为
，数列
是首项为
，公差不为零的等差数列,且
成等比数列．

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）设数列
满足
，前
项和为
,若对于
不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

18、（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取
个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为
，
，
，
，由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图），

（1）求
的值，并根据样本数据，试估计盒子中小

球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取
个小球，其中重量在
内的小球个数为
，求
的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).

19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
是直角梯形，
，
，
，

是
上的点.

（1）求证：平面
平面
；

（2）若
是
的中点，且二面角
的余弦值为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．

20、（本小题满分12分）已知椭圆
的中心在坐标原点，左、右焦点分别为
，
为椭圆
上的动点，
的面积最大值为
，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若直线
过定点
且与椭圆
交于
两点，点
是椭圆
的右顶点，直线
与直线
分别与
轴交于
两点，试问以线段
为直径的圆是否过
轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

21、（本小题满分12分）已知函数
（
）．

（1）若函数
的图象在
处切线的斜率为
，且不等式
在
上有解，求实数
的取值范围；

（2）若函数
的图象与
轴有两个不同的交点
，且
，

求证：
（其中
是
的导函数）．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
内接于直径为
的圆
，过点
作圆
的切线交
的延长线于点
，
的平分线分别交
和圆
于点
，若
.

（1）求证：
；

（2）求
的值.

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线

（
），过点
的直线
的参数方程为
（
是参数），直线
与曲线
分别交于
、
两点．

（1）写出曲线
和直线
的普通方程；

（2）若
，
，
成等比数列，求
的值．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（1）解不等式
；

（2）若
对一切实数
均成立，求
的取值范围．

六校联考数学卷（理）参考答案与评分标准

选择题

1~6 BADBDB 7~12 BCCCBA

填空题

13、1 14、-8

15、C 16、

解答题

17、解:（1）当n=1时
，
，

当
时，
，

得

∴数列{
}是以2为首项，公比为2的等比数列，

∴数列{
}的通项公式为
． ……3分

，设公差为
，则由
成等比数列，

得
，

解得
（舍去）或

∴数列
的通项公式为
． ……6分

（2）
……8分

则

……10分

∵
, ∴
……12分

18、解：（1）由题意，得
，

解得
； ……2分

又由最高矩形中点的的横坐标为20，

可估计盒子中小球重量的众数约为20克， ……4分

而
个样本小球重量的平均值为：

（克）

故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为
克； ……6分

（2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在
内的概率为
，则
.

的取值为
、
、
、
，
，
，

，
. ……10分
























的分布列为：

.（或者
） ……12分

19、解：（1）证明：
平面ABCD，
平面ABCD，
，

，
，

，
又
，
平面
，

∵
平面EAC，
平面
平面
……6分

（2）以
为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则C（0，0，0），
（1，1，0），
（1，－1，0）

设
（0，0，
）（
），则
（
，
，
），

，
，
，

取
=（1，－1，0） ……8分

则
，

为面
的法向量

设
为面
的法向量，则
，

即
，取
，
，
，则
，

依题意，
，则
于是

设直线
与平面
所成角为
，则
，

即直线
与平面
所成角的正弦值为
……12分

（或设CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴，请酌情给分）

20、解：（1）由题意得
，解得
，
．

所以椭圆
的方程是
． ……4分

（2）以线段
为直径的圆过
轴上的定点.

当直线
斜率不存在时

以线段
为直径的圆的方程为：
，恒过定点
. ……5分

当直线
斜率存在时 设

由
得
．

设
，则有
，
．……7分

又因为点
是椭圆
的右顶点，所以点
．

由题意可知直线
的方程为
，故点
．

直线
的方程为
，故点
． ……8分

若以线段
为直径的圆过
轴上的定点
，

则等价于
恒成立． ……9分

又因为
，
，

所以
恒成立．

又因为


，

，

所以
．解得
．

故以线段
为直径的圆过
轴上的定点
． ……12分

（或设
请酌情给分）

21、解：（Ⅰ）由
，

得切线的斜率
，故
， …… 2分

由
得

∵不等式
在
上有解，所以
……4分

令
则
，

∵
，故
时，
．当
时，
；当
时，
．

故
在
处取得最大值
，

所以
……6分

（Ⅱ）因为
的图象与
轴交于两个不同的点

所以方程
的两个根为
，则
，两式相减得

， ……8分

又
，则

下证
（*），即证明

即证明
在
上恒成立 …10分

因为
又
，所以

所以，
在
上是增函数，则
，从而知

故
，即
成立 ………12分

22、解: （1）∵PA是圆O的切线 ∴
又
是公共角

∴
∽
………2分

∴
∴
………4分

（2）由切割线定理得：
∴

又PB=5 ∴
………6分

又∵AD是
的平分线 ∴

∴
∴
………8分

又由相交弦定理得：
………10分

23、解:(Ⅰ)曲线
的普通方程为

直线的普通方程为
---------4分

(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得
,

， ------------6分

又
,

由题意知,
,

代入得
---------10分

24、解:(Ⅰ)当x
时f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0

得x>-5，所以x
成立

当
时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0

得x>1,所以1

当
时f(x)=-x-5>0得x<-5所以x<-5成立，

综上,原不等式的解集为{x|x>1或x<-5} ------------5分

（Ⅱ）f(x)+
=|2x+1|+2|x-4|

当

所以m≤9 ------------10分

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