高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题（五）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．集合
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2.已知
是虚数单位，则复数
的虚部是( )

A. 0 B.
C.
D. 1

3.已知命题
：命题
.则下列判断正确的是( )

A.p是假命题 B.q是真命题

C.
是真命题 D.
是真命题

4.下列函数中，与函数
的奇偶性相同，且在
上单调性也相同的是( )

A.
B.
C.
D.

5、某城市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2548名有车人中有1560名持反对意见，2452名无车人中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否有关系时，用什么方法最有说服力( )

A．平均数与方差 B．回归直线方程 C．独立性检验 D．概率

6.把函数
的图象适当变化就可以得
的图象，这个变化可以是（ ）

A．沿
轴方向向右平移
B．沿
轴方向向右平移

C．沿
轴方向向左平移
D．沿
轴方向向左平移

7.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（ ）

A．甲 B. 乙 C．丙 D.丁

8.如图，用一边长为
的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为
的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为( )

A．
B．

C．
D．

9.已知函数
，其中
，
，则函数
在
上是增函数的概率为( )

A．
B．
C．
D．

10.如图放置的边长为
的正△
沿边长为
的正方形
的各边内侧逆时针方向滚动．当△
沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点
的轨迹长度是( )

（A）
（B）

（C）
（D）

11.设双曲线
的右焦点为
，过点
作与
轴垂直的直线
交两渐近线于
两点，且与双曲线在第一象限的交点为
，设
为坐标原点，若
，
，则双曲线的离心率为( )

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
是定义域为
的偶函数. 当
时，
若关于
的方程
（
）,有且仅有6个不同实数根，则实数
的取值范围是 ( )

A
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

16.在
中，内角
所对的边的长分别为
，且
，则
________.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. （本小题共12分）

等差数列
中公差
，
，
、
、
成等比数列．

（Ⅰ） 求
的通项公式 ；

（Ⅱ） 设
的前n 项和为
，求:
。

18. （本小题共12分）

甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250， C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：

若甲、乙都选C类车型的概率为
.

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；

（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：

车型

A

B

C



补贴金额（万元/辆）

3

4

5



记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．

19. （本小题共12分）

在直三棱柱
中，底面
是边长为2的正三角形，
是棱
的中点，且
.

（Ⅰ）试在棱
上确定一点
，使
平面
；

（Ⅱ）当点
在棱
中点时，求直线
与平面
所成角的大小的正弦值。

20. （本小题满分12分）

如图，已知抛物线
的顶点在原点，焦点
在
轴上，抛物线上的点
到
的距离为4，且
的横坐标为2．过
点作抛物线
的两条动弦
、
，且
、
的斜率满足
．

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）直线
是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）若
为
的极值点，求实数a的值；

（Ⅱ）若
在
上为增函数，求实数a的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆周角
的平分线与圆交于点
，过点
的切线与弦
的延长线交于点
，
交
于点
．

求证：
；

若
，
，
，
四点共圆，且
，求
．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知椭圆

，直线

（
为参数）．

写出椭圆
的参数方程及直线
的普通方程；

设
，若椭圆
上的点
满足到点
的距离与其到直线
的距离相等，求点
的坐标．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3|

求不等式f（x）≥5的解集；

当x∈[﹣2，2]时，关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解，求实数t的取值范围．

考答案:

18. 解：（Ⅰ）因为

所以
，
． ……………………3分

（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，

则
．

答：所以甲、乙选择不同车型的概率是
． ……………6分

（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．

，
，

；
．

所以X的分布列为：

X

7

8

9

10



P











 …………12分

19. 解法一：（1）由于平面
平面
，

所以
面
，所以
。(2分)

而
是菱形，因此
，所以
平面
。（4分）

（2）设
，作
于
，连接
，

由（1）知
平面
，即
平面
，所以

又
于
，因此
，所以
为二面角的平面角
，（8分）

在
中，
，
，故直角边
，

又因为
中斜边
因此
中斜边
，

所以
，所以所求余弦值为
。（12分）

解法二：如图，取
的中点
，则
，

因为
，所以
，又
平面
，（2分）

以
为
轴建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，

（1）
，
，
，
由

知
， （5分）

又
，从而
平面
；（6分）

（2）由（1）知平面
的一个法向量为
，

再设平面
的法向量为
，
，
，

所以
，设
，则
，

故
因此所求余弦值为
。(12分）

20.解：(1)设抛物线方程为C：
，

由其定义知
，又
，所以
，
.

---------------5分

解法一：易知
，当
轴时，设
方程为
（
），

由
得

由
得
不符题意。

当
的斜率存在时，设
方程为
，

联立
得
，

设
，则
，① ------------8分

由
,得