张掖市高三年级2015年4月诊断考试

数学（文科）试卷

命题人：临泽一中 张自鹤 审题人：临泽一中 魏正清 终审人：山丹一中 钟丽娟

第I卷 （选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集是实数集R，
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.复数
(
为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知命题
，命题
，则( 　)

A.命题
是假命题 B.命题
是真命题

C.命题
是真命题 D.命题
是假命题

4.某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是（ ）

A．
B．

C．
D．

5.设变量
,
满足约束条件
则
的最大值为（ ）

A.21 B.15 C.-3 D.-15

6.已知实数1， m，4构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为（ ）

A．
B．
C.
或
D．
或3

7.某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

A.
B.

C.
D.

8.设
的内角
所对边的长分别为
,若
,则角
=（ ）

A．
B．
C．
D．

9.直线
被圆
所截得的最短弦长等于( )

A.
B.
C.
D.

10.将函数
图像上各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知双曲线
的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且
则点M到x轴的距离为( )

A．
B．
C．
D．

12.已知
函数则方程
恰有两个不同的实根时，实数
的取值范围是（注：e为自然对数的底数）（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.

13.已知
为第二象限角，
，则
=______ _____.

14.在
中，
，
，
,则
.

15.已知抛物线
，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为_________.

16.已知函数
且
，其中
为奇函数,
为偶函数，若不等式
对任意
恒成立,则实数
的取值范围是 .

三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知等差数列
中
，其前n项和
。

（I）求p的值及
；

（Ⅱ）在等比数列
中，
，若等比数列
的前n项和为
.求证：数列
为等比数列.

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中
中，底面
为菱形，
，
为
的中点.

（I）若
，求证：平面
平面
；

（II）若平面
平面
，
，点
在线段
上， 且
,求四棱锥
与三棱锥
的体积之比.

19.（本小题满分12分）

为了了解某学段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；

……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如右图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，

且第二组的频数为8.

（1）将频率当作概率，请估计该学段学生中百米成绩在[16，17）内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数（精确到0.01秒）；

（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C:
的离心率为
，且过点（1，
）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设与圆
相切的直线
交椭圆于A,B两点，M为圆
上的动点，求
面积的最大值，及取得最大值时的直线L的方程.

21.（本小题满分12分）

已知函数
，其中
是自然对数的底数，
．

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线的斜率为
,求切线方程；

（Ⅱ）试求
的单调区间并求出当
时
的极小值.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》

如图：
是⊙
的直径，
是弧
的中点，

，垂足为
，
交
于点
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，⊙
的半径为6，求
的长.

23.（本小题满分10分）《选修4—4：参数方程选讲》

在平面直角坐标系
中,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知
点的极坐标为
, 曲线
的极坐标方程为
.

(1)写出点
的直角坐标及曲线
的普通方程；

(2)若
为
上的动点,求
中点
到直线
(
为参数)距离的最大值.

24.（本小题满分10分）《选修4—5：不等式选讲》

已知函数

若
恒成立，求
的取值范围；

（2）若
，求证:
.

张掖市高三年级2015年4月诊断考试

文科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

C

B

B

C

A

D

C

A

D

B



二、填空题： 13.
14.
15.
16.

三、解答题

17．解析：（I）由题意可得:

---------------------- 3分

，
公差
---------------------- 5分

由此可得：
----------------------6分

（Ⅱ）由题意可得:

联立方程组解得：
，
--------------------8分

数列
是以
为首项，3为公比的等比数列。

------------------10分

又因为
，

是以
为首项，3为公比的等比数列。 ----------------12分

18．解析：（Ⅰ）

，
为
的中点，

， -----------------------1分

又
底面
为菱形，
，

设
则
，从而

----------------4分

----------------------------5分

又


平面
，又

平面
,

平面
平面
; ----------------------------6分

（Ⅱ）过点
作
交PB于点H. --------------------------7分

平面
平面
,平面
平面
,

平面
，
平面
,

--------8分

,又

,又

,

平面
,又
,
，

--------------------------10分

,

---------------------------12分

19．解析：（1）设前3组的频率依次为
，则由题意可得:

,由此得：
…………………1分

第二组的频率为0.16 …………………2分

第二组的频数为8，
抽取的学生总人数为
人 …………………3分

由此可估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数
人。……………4分

设所求中位数为

由前可知第一组、第二组、第三组的频率分别为0.06、016、0.38

则 0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5,解得m=15.74

答: 估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数为16人；所有抽取学生的百米成绩的中位数为15.74秒。 …………………6分

（2）记“两个成绩的差的绝对值大于1秒”为事件A.

由(1)可知从第一组抽取的人数
人，不妨记为a,b.c

从第五组抽取的人数
人，不妨记为1,2,3,4， ……………9分

则从第一、五组中随机取出两个成绩有:ab,ac.a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b3,c1,c2,c3,

c4,12,13,14,23,24,34这21种可能；

其中两个成绩的差的绝对值大于1秒的来自不同的组，共有12种。