河北省石家庄市2015届高三高中毕业班第一次模拟考试

数学（文）试题

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知i是虚数单位，则复数

A．
B．
C．
D．

2、已知集合
，则

A．
B．
C．
D．

3、命题
若
，则
；命题
，下列命题为假命题的是

A．
或
B．
且
C．
D．

4、设函数
为偶数，当
时，
，则

A．
B．
C．2 D．-2

5、已知
，则

A．
B．
C．
D．

6、函数
的图象的相邻两支截直线
所得线段长为
，则
的值是

A．
B．
C．1 D．

7、执行下面的程序框图，如果输入的依次是
，

则输出的S为

A．2 B．

C．4 D．6

8、在棱长为3的正方体
中，P在线段BD
上，且
，M为线段
上的动点，则三棱锥
的体积为

A．1 B．
C．
D．与M点的位置有关

9、已知
三地在同一水平面内，A第在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，劜其补超过
km的范围内会崔测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是

A．
B．
C．
D．

10、已知抛物线
的交点F恰好是双曲线
的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

11、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．64 B．72

C．80 D．112

12、已知函数
，若关于
的方程
有8个不同的实数根，则
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.

13、已知平面向量
的夹角为
，则

14、已知等差数列
是递增数列，
是
的前n项和，若
是方程
的两个根，则
的值为

15、若不等式组
表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则时速
的范围是

16、设过曲线
为自然数的底数）上任意一点处的切线为
，总存在过曲线
上一点处的切线
，使得
，则实数
的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

设数列
的前n项和
，且
为等差数列
的前三项。

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）求数列
的前n项和。

18、（本小题满分12分）

某商品计划每天购进某商品若干件，商品每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元，若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元。

（1）若商品一天购进商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，
）的函数解析式；

（2）商品记录了50天该商品的日需求量n（单位：件），整理得下表：

若商品一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为个需求量发生的概率，求当天的利润在区间
的概率。

18、（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，
ABC=
BAD=
，BC=
，AP=AD=AB=
，

PAB=
PAD=

（1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC//平面BDE，并求出此时
的值；

（2）当
，求证：CD
平面PBD。

20、（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，一动圆经过点
且与直线
相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E。

（1）求曲线E的方程；

（2）已知点
，倾斜角为
的直线
与线段OA相交（不经过点O或点A）且与曲线E交于M、N两点，求
AMN的面积的最大值，及此时直线的方程。

21、（本小题满分13分）

已知函数

（1）若函数
在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；

（2）证明：若
，则对于任意
，
，有
。

请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．

22、（本小题满分10分）

如图，已知
和
相交于A、B两点，AD为
的直径，延长DB交
于C，点G为弧BD中点，连结AG分别交
，BD于点E、F，连结CE。

（1）求证：

（2）求证：

23、（本小题满分10分）

已知曲线
的参数方程为
为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
。

（1）分别写出
的普通方程，
的直角坐标方程；

（2）已知M、N分别为曲线
的上下顶点，点P为曲线
上任意一点，求
的最大值。

24、（本小题满分10分）

已知函数
的定义域为R。

（1）求实数
的取值范围；

（2）若
的最大值为
，当正数
满足
时，求
的最小值。

2015年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试

高三数学(文科A卷答案)

选择题（A卷）

1-5CCBBA 6-10 DBBAC 11-12 CD

选择题(B卷)

1-5DDBBA 6-10 CBBAD 11-12 DC

填空题

13
14 24

15
16

解答题

17．（本小题满分12分）

解：（1）解法1∵

∴

∴
，即

，

又

∴数列
为以1为首项，公比为
的等比数列，…………………………………2分

∴
，

∴
，整理得
，得
……………………4分

∴
，
………………………………………………6分

解法2：∵

∴

∴
，整理得
，得
………………………2分

∴

∴

∴
，即

，

又

∴数列
为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分

∴
，

………………………………………………………………………6分

（2）

∴
………………………①

∴
………②…………8分

—②得

…………………………………10分

整理得：
…………………………………………………………12分

18.

解：（1）当日需求量
时，

利润为
； ………2分

当日需求量
时，利润为
…………4分

所以，关于
日需求量
函数关系式为：

. ………6分

（2）50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440，有15天获得利润为500，有10天获得的利润为530，有5天获得的利润为560.……………8分

②若利润在区间
时，日需求量为9件、10件、11件该商品，其对应的频数分别为11天、15天、10天.…………10分

则利润区间
的概率为：

. …………12分

19.

证明一

连接
交于点
,在平面
中做
∥
交
于
,

因为
平面
，
平面

∥平面
，---------------2

∥

因为
∥
,

此时，
.-------------4

证明二

在棱
上取点
，使得
,------------2

连接
交于点
,

∥

所以，
∥

因为
平面
，
平面

所以
∥平面
-------------4

（2）证明一

取
的中点
,连结
,则
为正方形.

连接
交于点
，连接
，

，

-------------7

所以
-------------8

所以
,-------------10

所以，

平面
．-------------12

证明二

取
的中点
,连结
,则
为正方形.

过
作
⊥平面
,垂足为
.

连结
.

，

所以
和
都是等边三角形，因此
,

所以
,

即点
为正方形
对角线的交点, -------------7

所以
-------------8

所以
,-------------10

又因为
-------------11

所以，

平面
．-------------12

证明三

20

解：（1）由题意可知圆心到
的距离等于到直线
的距离，

由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：
.----------（4分）

（2）解法一 由题意，可设l的方程为y=x-m,其中0＜m＜5

由方程组
,消去y,得x2-(2m+4)x+m2=0 ①

当0＜m＜5是，方程①的判别式Δ=(2m+4)2－4m2=16(1+m)＞0成立.　

设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4+2m，x1·x2=m2, ----------（6分）

∴|MN|=
=

又因为点A到直线l的距离为d=

∴S△=
.----------（９分）

令
，

所以函数
在（0,1）上单调递增，在（1,5）上单调递减.

当m=1时，
有最大值32，.------ ----（1１分）

故当直线l的方程为y=x－1时，△AMN的最大面积为8
.---------- （12分）

解法二 由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5

由方程组
,消去x,得y