长春市普通高中2015届高三质量监测（二）

数学(文科)参考答案及评分标准

一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)

简答与提示：

【命题意图】本题主要考查集合交集的运算，属于基础题.

【试题解析】D 由题意可知
或
，所以
. 故选D.

【命题意图】本题考查复数的除法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.

【试题解析】D
. 故选D.

【命题意图】本题考查解三角函数与几何概型等知识，属于基础题.

【试题解析】C 在区间
上，当
时，
，由几何概型知，符合条件的概率为
.故选C.

【命题意图】本题考查含有一个绝对值的函数的单调区间问题，属于简单题.

【试题解析】A 函数
在
上是单调函数，所以
，解得
.故选A.

【命题意图】本题主要考查线性规划，是书中的原题改编，要求学生有一定的运算能力.

【试题解析】D 由题意可知，
在
处取得最小值，在
处取得最大值，即
. 故选D.

【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.

【试题解析】D　 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体积为
. 故选D.

【命题意图】本题考查向量模的运算.

【试题解析】B　
. 故选B.

【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题.

【试题解析】B 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B.

【命题意图】本题主要考查学生对三角函数图像的掌握情况，属于基础题.

【试题解析】C
，函数
的图象向左平移
个单位后的解析式为
，从而
，有的最小值为
. 故选C.

【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离，属于中档题.

【试题解析】B 由直线与圆相切可知
，整理得
，由
可知
. 故选B.

【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题，属于较难题.

【试题解析】B 由题意知，
，当
时，
，

从而
，有
，当
时上式成立，所以
. 故选B.

【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于难题.

【试题解析】C 由题可知，过I、III象限的渐近线的倾斜角为
，则
，
，因此△
的面积可以表示为
，解得
，则
. 故选C.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)

简答与提示：

【命题意图】本题考查导数的运算.

【试题解析】由
，得
.

【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的基本运算能力.

【试题解析】抛物线焦点为
，直线方程为
，与抛物线方程联立
得两交点纵坐标差的绝对值为
，从而△
的面积为
.

【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查，具有一定的难度.

【试题解析】由三棱锥的外接球半径为2，可知
，从而三棱锥的表面积为
.

【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图像进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题.

【试题解析】由题意可知
是周期为4的偶函数，对称轴为直线
. 若
恰有2个零点，有
，解得
.

三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求.

【试题解析】解：(1)
(3分)

(6分)

(2)因为

，而
，且为锐角，可求得
. (9分)

所以在△
中，由正弦定理得，
. (12分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识.本题主要考查数据处理能力.

【试题解析】(1)由图可知
，
. (4分)

(2) 利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. (6分)

令高消费的人为
，潜在消费的人为
，从中取出三人，

总共有：
10种情况，

(8分)

其中
为获得代金卷总和为200元的情况，(10分)

因此，三人获得代金券总和为200元的概率为
. (12分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、点到平面的距离等问题.

【试题解析】解：(1) 取
中点
，连结
、

是
中点，
，

又
，
，四边形
为平行四边形

，
平面
，
，

，
，
平面
，

平面
，平面
平面
. (6分)

（2）由（1）知，
，

所以
平面
，即点到平面
的距离为
，

在
△
中，由
，得
，所以
. (12分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法，椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

【试题解析】解：(1) 已知
，且
,
，其中为内切圆半径，化简得：
，顶点的轨迹是以
为焦点，4为长轴长的椭圆（去掉长轴端点），其中

进而其方程为

. (5分)

(2) 证明：当直线
斜率存在时，设直线
且
，
，

联立
可得
，
. (8分)

由题意：
，
，
.

当直线
斜率不存在时，
，

综上可得
. (12分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.

【试题解析】解：（1）
，由题意可得
，解得

经检验，
时
在
处取得极值，所以
(3分)

（2）证明：由（1）知，

令

由
，

可知
在
上是减函数，在
上是增函数

所以
，所以
成立 (8分)

（3）由
知，

所以
恒成立等价于
在
时恒成立

令
，
，有
，

所以
在
上是增函数，有
，所以
. (12分)

(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.

【试题解析】解：(1) 由题意可知，
，
，

则△
∽△
，则
，又
，则
. (5分)

(2) 由
，
，可得
，

在△
中，
，可知
. (10分)

(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.

【试题解析】解：(1) 对于曲线
有
，对于曲线
有
.(5分)

(2) 显然曲线
：
为直线，则其参数方程可写为
（为参数）与曲线
：
联立，可知
，所以
与
存在两个交点，

由
，
，得
. (10分)