长春市普通高中2015届高三质量监测（二）

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)

简答与提示：

【命题意图】本题主要考查集合交集与补集的运算，属于基础题.

【试题解析】D 由题意可知
或
，则
，所以
. 故选D.

【命题意图】本题考查复数的除法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.

【试题解析】A
，所以其共轭复数为
. 故选A.

【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对统计学原理有全面的认识.

【试题解析】C
. 故选C.

【命题意图】本题借助不等式来考查命题逻辑，属于基础题.

【试题解析】C　由成立，则
，由成立，则
，所以
成立时
是的充要条件.故选C.

【命题意图】本题主要考查线性规划，是书中的原题改编，要求学生有一定的运算能力.

【试题解析】D 由题意可知，
在
处取得最小值，在
处取得最大值，即
.故选D.

【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.

【试题解析】D　该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体积为
. 故选D.

【命题意图】本题考查向量模的运算.

【试题解析】B　
. 故选B.

【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题.

【试题解析】B 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B.

【命题意图】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题.

【试题解析】C 由题意
，将其图像向右平移
个单位后解析式为
，则
，即

，所以的最小值为
. 故选C.

【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离，属于中档题.

【试题解析】A 由直线与圆相切可知
，整理得
，由
可知
，解得
. 故选A.

【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于难题.

【试题解析】C 由题可知，过I、III象限的渐近线的倾斜角为
，则
，
，因此△
的面积可以表示为
，解得
，则
. 故选C.

【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题，属于难题.

【试题解析】A 设
，有
，
，则
，

即

当
时，

所以
，即
，

所以
是以
为公比，1为首项的等比数列，

所以
，
. 故选A.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)

简答与提示：

【命题意图】本题主要考查二项式定理的有关知识，属于基础题.

【试题解析】由题意可知常数项为
.

【命题意图】本题考查定积分的几何意义及微积分基本定理，属于基础题.

【试题解析】由题意
，所以
.

【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查，具有一定难度.

【试题解析】由题意，面积最小的截面是以
为直径，可求得
，进而截面面积的最小值为
.

【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图像进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题.

【试题解析】由题意可知
是周期为4的偶函数，对称轴为直线
. 若
恰有4个零点，有
，解得
.

三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求.

【试题解析】解：(1)
(3分)

(6分)

(2)因为

，而
，且为锐角，可求得
. (9分)

所以在△
中，由正弦定理得，
. (12分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 本题主要考查数据处理能力.

【试题解析】(1)由图可知
，
. (4分)

(2) 利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人. (6分)

从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和
，

则
的所有可能取值为：150，200，250，300.

，
，

，
，

150

200

250

300















 (10分)

且
. (12分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.

【试题解析】解：(1) 取
中点
，连结
、
，

是
中点，
，

又
，
，四边形
为平行四边形

，
平面
，
，

，
，
平面
，

平面
，平面
平面
. (6分)

(2) 存在符合条件的
.以为原点，
方向为轴，
方向为轴，
方向为轴，建立空间直角坐标系
，设
，
，
，

从而
，
，则平面
的法向量为
，

又平面
即为
平面，其法向量
，

则
，

解得
或
，进而
或
. (12分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法，椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

【试题解析】解：(1) 已知
，且
,
，其中为内切圆半径，化简得：
，顶点的轨迹是以
为焦点，长轴长为4的椭圆（去掉长轴端点），其中

进而其方程为

. (5分)

(2)
，以下进行证明：

当直线
斜率存在时，设直线
且
，
，

联立
可得
，
. (8分)

由题意：
，
，
.

当直线
斜率不存在时，
，

综上可得
. (12分)

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.

【试题解析】解：(1) 对
求导得：
，根据条件知
，所以
. (3分)

(2) 由(1)得
，

.

① 当
时，由于
，有
，于是
在
上单调递增，从而
，因此
在
上单调递增，即
而且仅有
；

②当
时，由于
，有
，于是
在
上单调递减，从而
，因此
在
上单调递减，即
而且仅有
；

③当
时，令
，当
时，
，于是
在
上单调递减，从而
，因此
在
上单调递减，

即
而且仅有
.

综上可知，所求实数的取值范围是
. （8分）

(3) 对要证明的不等式等价变形如下：

所以可以考虑证明：对于任意的正整数，不等式
恒成立. 并且继续作如下等价变形

对于
相当于（2）中
，
情形，有
在
上单调递减，即
而且仅有
.

取
，当
时，
成立；

当
时，
.

从而对于任意正整数都有
成立.

对于
相当于（2）中
情形，对于任意

，恒有
而且仅有
. 取
，得：对于任意正整数都有
成立.

因此对于任意正整数，不等式
恒成立.

这样依据不等式
，再令
利用左边，令
利用右边，即可得到
成立. (12分)

(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.

【试题解析】解：(1) 由题意可知，
，
，

则△
∽△
，则
，又
，则
. (5分)

(2) 由
，
，可得
，

在△
中，
，可知
. (10分)

(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.

【试题解析】解：(1) 对于曲线
有
，对于曲线
有
.(5分)

(2) 显然曲线
：
为直线，则其参数方程可写为
（为参数）与曲线
：