参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 解：
，

，故选D.

2. 解:
故选A.

3. 解:

，半焦距

故选D.

4. 解：
，故选B.

5. 解:
，
，
，
，
，

故选B.

6. 解：
，


故选C.

7. 解：
时，
；
时，
；
时，
；…；
时，
，结束，故选B.

8. 解：由题意得
又

即
，


故选C.

9. 解：依题意，得实数
满足
，画出可行域如图所示，

其中
，
，

解得
故选B.

10. 解：直观图如图所示四棱锥

故此棱锥的表面积为
，故选A.

11. 解：设
，
，
,则
，解得
，

直线
的方程为
，令
，得

联立方程组
，解得
，
，

故选D.

12. 解：
在
单调递减，如图所示，易得

依题意得
，
，故选C.

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 解：
，
，
.

14. 解：

设
外接圆的半径为，则

，故
的最大值为
.

15. 解：如图所示，
过球心，

.

16. 解：
在
恒成立，即
在
恒成立

即
.

三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 解:(1)
，

………2分

数列
为等差数列，设公差为

即
………4分

又

………6分

(2)
………9分

………12分

18.解:(1)
……2分

………4分

从男、女生各自的成绩平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关………5分

(2)由频数分布表可知：在抽取的100学生中，“男生组”中的优分有15（人），“女生组”中的优分有15（人），据此可得
列联表如下：

优分

非优分

合计



男生

15

45

60



女生

15

25

40



合计

30

70

100



………8分

可得
………10分

因为
，所以没有
的把握认为“数学成绩与性别有关”………12分

19. 证明：(1)

分别为
和
的中点

又
，且三棱柱
为直三棱柱.

平行四边形
为正方形，
………2分

，为
的中点，
，且三棱柱
为直三棱柱.

平面

………4分

又

平面

平面

………6分

(2)设
，则
，
，
.由已知可得
到面
距离即为
的边

所对应的高
………8分

(
)

………10分

当
时，即
时，
有最小值为18………12分

圆心
到直线
的距离

(
)

直线
与圆
恒有两个交点…………8分

…………10分

…………12分

21. 解:(1)
………2分

，

………3分

(2)由（1）得
，

①当
时，由
得
；由
得
.

此时
在
上单调递减，在
上单调递增.

，

（或当
时，
亦可）

要使得
在
上有且只有两个零点，

则只需

，即
…6分

②当
时，由
得
或
；由
得
.此时
在
上单调递减，在
和
上单调递增. 此时

，此时
在
至多只有一个零点，不合题意………9分

③当
时，由
得
或
，由
得
，此时
在
和
上单调递增，在
上单调递减，且
，
在
至多只有一个零点，不合题意.

综上所述，的取值范围为
………12分

22. 证明：(1)
为
的切线，
为切点，
为
的直径
……1分

又


………3分

又



………5分

(2)由弦切角定理可知，

四边形
为圆
的内接四边形
………8分

又


………10分

23. 解(1)由
，得
………1分

直线
的极坐标方程为:

即
即
………3分

即曲线
的普通方程为
………5分

(2)设
，

到直线
的距离

………8分

当
时，
此时

当点为
时，到直线
的距离最小，最小值为
………10分

24. 解:(1)

………1分

等价于
或
或
………3分

解得
或
，所以不等式的解集为
………5分

(2)由不等式性质可知
………8分

若存在实数，使得不等式
成立，则
，解得

实数的取值范围是
………10分