参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.解：
，
，故选C.

2.解：
，故选B.

3.解：
，故选B.

4.解：

故选B.

5.解：由题意得
又

即
，


故选C.

6.解：
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；…；

时，
，结束，故选B.

7.解：
联立方程组
，得

，

，故选C.

8.解：依题意，得实数
满足
，画出可行域如图所示，

其中
，

，故选A.

9.解：直观图如图所示四棱锥

故此棱锥的表面积为
，故选A.

10.解：设内切圆的半径为，

即

，故选B.

11.解：如图，
，

又

又

，故选B.

12.解：如图所示，易得

依题意得
，
，故选D.

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.解：
的系数为
.

14.解:设切点为
，则
，
，又
，

15.解：
，

解得
，即
.

16.解：

设圆
的半径为，则

当
时，
取得最大值

建立如图直角坐标系，则
，
，
，设
，则

当且仅当
时，
取最大值
.

三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.解:（1）当
时，


………2分

当
时，
………①
………②

①-②得

………4分

数列
是首项为2，公比为2的等比数列
………6分

(2)
………7分

两式相减得
…11分

………12分

18.解：以为原点，
、
、
为
轴的正方向建立空间直角坐标系.

设
，则

则
，
，
，
，
，
，

……2分

(1)由已知可得
，
，
………3分

,

，
………4分

即

………5分

(2)设平面
的法向量为
，则

，

………7分

由（1）可得
为平面
的法向量，且
………9分

………11分

又二面角
为锐二面角二面角
的余弦值为
………12分

19.解:(1)由表中数据得
的观测值

………2分

所以根据统计有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关………3分

(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为
分钟，则基本事件满足的区域为
(如图所示) ………4分

设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为
………5分

由几何概型
即乙比甲先解答完的概率为
………7分

(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有
种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有
种；恰有一人被抽到有
种；两人都被抽到有
种………8分

可能取值为
，
，
，

的分布列为：





















………11分

………12分

设过点
的直线方程为
，代入
中得:

，设
、
，

则
，
………9分

综上得定点为
，定值为3………12分

21.解：(1)由
，得
………1分

由题意得
………2分

………3分

(2)令
，

则任意
，
与
有且只有两个交点，等价于函数
在
有且只有两个零点.

由
，得
………5分

①当
时，由
得
；由
得
.

此时
在
上单调递减，在
上单调递增.

，

（或当
时，
亦可）

要使得
在
上有且只有两个零点，

则只需

，即

………7分

②当
时，由
得
或
；由
得
.此时
在
上单调递减，在
和
上单调递增.

此时

此时
在
至多只有一个零点，不合题意………9分

③当
时，由
得
或
，由
得
，此时
在
和
上单调递增，在
上单调递减，且
，
在
至多只有一个零点，不合题意………11分

综上所述，的取值范围为
………12分

22.证明：(1)
为圆
的切线，
为切点，
为圆
的直径
………1分

又


………3分

又

………5分

(2)由弦切角定理可知，

四边形
为圆
的内接四边形
………8分

又


………10分

23.解:(1)由
，得
………1分

直线
的极坐标方程为:

即
即
………3分

即曲线
的普通方程为
………5分

(2)设
，

到直线
的距离

………8分

当
时，
此时

当点为
时，到直线
的距离最小，最小值为
………10分

24.解:(1)

………1分

等价于
或
或
………3分

解得
或
，所以不等式的解集为
………5分

(2)由不等式性质可知
………8分

若存在实数，使得不等式
成立，则
，解得

实数的取值范围是
………10分