本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1页～第2页，第II卷第3页～第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分150分,考试时间为120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）

1．设集合
,
，则
等于（　 　）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．下列函数中，在
上单调递增，并且是偶函数的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（ ）.

（A）9 （B）10 （C）19 （D）29

4．已知向量
，
，则“
且
”是“
”的

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充分必要条件

(D) 既不充分也不必要条件

5．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是

（A）
（B）
（C）
（D）

6．在△ABC中，点G是△ABC的重心，若存在实数
，使
，则（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7. 已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是

（A） 若
，
，则
（B） 若

，
，则

（C） 若
，
，则
（D） 若
，
，则

8．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设
，
分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，
，
分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有

(A)
，
(B)
，

(C)
，
(D)
，

9．△ABC的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹为( )

（A）
(y≠0) （B）
(y≠0)

（C）
(y≠0) （D）
(y≠0)

10． 函数
（其中
）的图象如图所示，为了得到
的图象，只需把
的图象上所有点（ ）

（A） 向左平移
个单位长度

（B）向右平移
个单位长度

（C） 向右平移
个单位长度 （D）向左平移
个单位长度

11．已知直线
按向量
平移后得到的直线与曲线
相切，则
可以为

（A）（0，1） （B）（1，0） （C）（0，2） （D）（2，0）

12．已知两点
，
，若直线
上至少存在三个点，使得△
是直角三角形，则实数
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)

数学试题（文科）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）

13． 若复数
,
,则
.

14.若变量
满足约束条件
，则
的最大

值是____________.

15. 给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的x 值与

输出的y 值相等, 则这样的x 值的集合为____________.

16．已知数列
是递增数列，且对任意的自然数，
恒成立，则实数
的取值范围为 ．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17.（本题满分12分）

在
中，内角
对边分别为
，且
.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
，求
的值.

18．（本题满分12分）

如图，在底面为平行四边形的四棱锥
中，
，
平面
，且
，点是
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求点到平面
的距离．

19．（本题满分12分）

有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：

（I）求频率分布直方图中的值；

(Ⅱ) 分别求出成绩落在
中的学生人数；

（III）从成绩在
的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在
中的概率．

20．（本题满分12分）

已知椭圆C：
的离心率为
，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 设直线
与椭圆交于P、Q，O为坐标原点，若
，求证
为定值．

21.（本小题满分12分） 已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的极小值；

（Ⅱ）过点
能否存在曲线
的切线，请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
是⊙
的直径，
是⊙
的弦，
的平分线
交⊙
于，过点作
交
的延长线于点，
交
于点.若
.

(Ⅰ)
∥
;

(Ⅱ)求
的值.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线

，过点
的直线
的参数方程为
.直线
与曲线
分别交于
.

(Ⅰ)求的取值范围;

(Ⅱ)若
成等比数列,求实数的值.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的定义域；

（Ⅱ）若关于的不等式
的解集是，求的取值范围．

宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)

数学试题（文科）参考答案

选择题：BABA BACB DCAD

填空题：13、
； 14、
； 15、
； 16、

三、解答题：17. 解：（Ⅰ）因为
，由正弦定理

得：
，

因为
，所以
---------------------------6分

（Ⅱ）因为
，由正弦定理知
①

由余弦定理
得
②

由①②得
。 ------------------12分

18．解：（Ⅰ）由
平面
可得PA?AC，

又
，所以AC?平面PAB，

所以
． …………………………………… 4分

（Ⅱ）连BD交AC于点O，连EO，

则EO是△PDB的中位线，

所以EO
PB．

又因为
面
，
面
，

所以PB
平面
． ……………………… 8分

（Ⅲ）取
中点，连接
．因为点是
的中点，所以
．

又因为
平面
，所以
平面
．

所以线段
的长度就是点到平面
的距离．

又因为
，所以
．

所以点到平面
的距离为． ………………… 12分

19．解：（I）由题意
，
. ………2分

（II）成绩落在
中的学生人数为
，

成绩落在
中的学生人数

成绩落在
中的学生人数
. ……………6分

（III）设落在
中的学生为
，落在
中的学生为
，

则
，

基本事件个数为
------------------------------------------------10分

设A＝“此2人的成绩都在
”，则事件A包含的基本事件数
，

所以事件A发生概率
. ……… ……………12分

20．解：（Ⅰ）
，

，

所以椭圆的方程是
。--------------------------4分

（2）设
，直线OP的方程为
，

代入
得
，

即
，--------------------6分

因为
，我们以
代换上式的
得，
，-----------8分

所以
------------------10分

若
不存在，即P、Q分别是椭圆长、短轴的顶点，

--------------------------------11分

综上得出结论：
---------12分

（注：本题结论变式为：

①求
的最大值和最小值；②求原点在PQ上射影的轨迹；③求证原点到PQ的距离为定值；④求△POQ面积的最值；⑤椭圆上是否存在一点E，使得
？……）

21. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R．因为
，所以
．

令
，则
．



0







-

0

+





↘

极小值

↗



所以
． …………………6分

（Ⅱ）假设存在切线，设切点坐标为
，则切线方程为

即

将
代入得
．

方程
有解，等价于过点
作曲线
的切线存在．

令
， 所以
．

当
时，
．

所以 当
时，
，函数
在
上单调递增；

当
时，
，
在
上单调递减．

所以 当
时，
，无最小值．

当
时，方程
有解；当
时，方程
无解．

综上所述，当
时存在切线；当
时不存在切线． ………………12分

22．解：(Ⅰ)连接OD，BC，设BC交OD于点M.

因为OA=OD,所以OAD=ODA;----------2分

又因为OAD=DAE,所以ODA=DAE

所以OD//AE；----------------------------4分

(Ⅱ)因为ACBC,且DEAC，所以BC//DE。

所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE=MD--------6分

由
，设AC=3x，AB=5x,则OM=

又OD=
,所以MD=
-
=x

所以AE=AC+CE=4x

因为OD//AE，所以
=
。--------------10分

23．解：(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y2=2ax (a>0)

将直线l的参数方程

代入曲线C的直角坐标方程得：
--------3分 　 　

因为交于两点，所以
，即a>0或a<-4.----------