山西省2015届高三第三次四校联考数学（文）试卷

命题：忻州一中 康杰中学 长治二中 临汾一中

(考试时间120分钟 满分150分)

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1.设全集为R，集合A=
，B=
，则

A.
B.
C.
D.

2.已知复数

为虚数单位
，则的共轭复数是

A. B.
C.
D.

3.若等比数列
满足
，
，则公比

A. B. C.
D.

4.若椭圆
的离心率为
，则双曲线
的渐近线方程为

A.
B.
C.
D.

5.已知命题

使
；命题
，下列是真命题的是

A.
B.
C.
D.

6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

7.在面积为
的
内部任取一点，则
的面积大于

的概率为

A.
B.
C.
D.

8.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是

A. 2016????????? ? B. 2 C.
????????????? ??????D.

9.已知函数
，则函数
的

大致图象是

10.在半径为
的球面上有
三点，如果
，
，则球心
到平面
的距离为

A.
B.
C.
D.

11.已知函数
的部分图象如图所示，

则
取得最小值时的集合为

A.
B.

C.
D.

12.已知点是抛物线
的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足
，当取最大值时，点恰好在以
为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13.已知向量
，
，若
，则
.

14.设变量
满足约束条件
，则
的最小值是 .

15.设数列
满足
，点
对任意的
，都有向量

，则数列
的前项和
.

16.已知函数
，若函数
有且仅有两个零点，

则实数
的取值范围是 .

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17. (本小题满分12分)

在ΔABC中，内角
所对的边分别为
.

若
－

.

（1）求角C的大小；

（2）已知
，ΔABC的面积为
. 求边长的值.

18. (本小题满分12分)

如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道

数学题(满分12分)的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊，

记为，已知甲、乙两组的平均成绩相同.

（1）求的值，并判断哪组学生成绩更稳定;

（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率.

19. (本小题满分12分)

如图，
是圆
的直径，点
在圆
上,矩形
所

在的平面垂直于圆
所在的平面,
，
．

（1）证明：平面
平面
；

（2）当三棱锥
的体积最大时，求点
到平面

的距离．

 20. (本小题满分12分)

已知点
,点是圆C：
上的任意一点,，线段
的垂直

平分线与直线
交于点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）若直线
与点的轨迹有两个不同的交点和
，且原点
总在以

为直径的圆的内部，求实数的取值范围．

21. (本小题满分12分)

设函数
，
.

(1) 若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；

（2）若对任意
，
恒成立，求
的取值范围.

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图所示,已知圆
外有一点,作圆
的切线
,
为切点,过
的中点
,作割线
,交圆于、两点,连接
并延长,交圆
于点
,连接
交圆
于点,若
.

(1)求证:△
∽△
;

(2)求证:四边形
是平行四边形.

23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，圆C的参数方程为：

．以
为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线
的极坐标方程是
，射线
与圆C的交点

为O、P，与直线
的交点为Q，求线段
的长．

24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

设函数
=
，
.不等式
的解集为
.

（1）求
；

（2）当
时，证明:
．

2015四校三联文科数学试题答案

一选择题 1-6 CABADB 7-12DBDCBC

二填空题 13.或
14. 15.
16.

三解答题

17.解：（１）由条件得
=2（2
）

即
=

=

………………2分

化简得

, ………………………4分

∵
　∴　

又
　∴　
＝
………………………6分

（２）由已知及正弦定理得
………………………8分

又 SΔABC=8，C=
∴ 
， 得
………………………10分

由余弦定理
得
. ………………………12分

18. （1）

∴
……………2分 ，

又

………………4分

∴
∴甲组成绩比乙组稳定。 ………………6分

（2）记甲组4名同学为：A1，A2， A3，A4；乙组4名同学为：B1，B2，B3，B4；分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为：(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,B4)

(A2, B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,B4)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,B3)，(A3,B4)，(A4,B1)，(A4,B2)，(A4,B3)，(A4,B4)，共16个基本事件，其中得分之和低于20分的共6个基本事件， ………………10分

∴得分之和低于20分的概率是：
. …………………12分

19．（1）证明：∵
是直径，∴
…………………1分，

又四边形
为矩形,
,
,∴

∵
，∴
平面
…………4分

又
平面
，∴平面
平面
………………6分

（2）由⑴知

， ………………………8分，

当且仅当
时等号成立 ……………………9分，

∴当
三棱锥
体积最大为
……………………10分，

此时，
，

设点
到平面
的距离为
，则

………………………12分

20.解：解：（1）由题意知
，∴
，

∴E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为：
……………4分

（2）设
，则将直线与椭圆的方程联立得：
，

消去y,得：

……………6分

因为O在以PQ为直径的圆的内部，故
………7分

而

由
…………………9分

得：

, 且满足（*）式

M的取值范围是
……………………12分

21解：（1）由条件得


……………………2分

∵曲线
在点
处的切线与直线
垂直，∴此切线的斜率为0

即
，有
，得
……………………4分

∴

=

，由
得
，由
得
.

∴
在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当
时
取得极小值

.

故
的单调递减区间为（0，），极小值为. ……………………6分

（2）条件等价于对任意
，
恒成立，……（*）

设




，

∴（*）等价于
在（0，+∞）上单调递减. ……………………9分

由

0在（0，+∞）上恒成立， ……………………10分

得

=

恒成立，

∴

( 对

，
仅在
时成立)，

故
的取值范围是[
，+∞）. ……………………12分

22.证明:(1)∵
是圆
的切线,
是圆
的割线,
是
的中点,

∴
, ∴
,

又∵
, ∴△
∽△
,

∴
, 即
.

∵
, ∴
, ∴
,

∴△
∽△
. …………………5分

(2)∵
,∴
,即
,

∴
, ∵△
∽△
,∴
,

∵
是圆
的切线,∴
,

∴

,即
,

∴
, ∴四边形PMCD是平行四边形. …………………10分

23.解：（1）圆C的普通方程为
，又
，

所以圆C的极坐标方程为
??????? ?………………5分

（2）设
，则有
解得

设
，则有
,解得

所以
???? ………………10分

24.解:(1)
等价于

或
或
解得

…………………5分

(2) 当
时，即
时，要证
，即证

所以
…………………10分