一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）

1. 已知全集
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知
（
），其中为虚数单位，则
（ ）

A． B．
C．
D．

3. 若是第三象限角，且
，则
（ ）

Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

4. 已知向量
与
不共线，且
，若
三点共线，则实数
满足的条件是（ ）

Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

5. 在正项等比数列
中，
，则
的值是 ( )

A.
B.
C.
D.

6. 已知向量
,
,
,则“
”是“
”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

7. 已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)

A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝

8.
中，
,
设点
满足

若
,则
（ ）

A.
B.
C.
D.

9.
满足约束条件
若
取得最大值的最优解不唯一，

则实数的值为 ( )

A.
或
B.或
C.或 D.或

对于任意两个正整数
,定义某种运算“※”如下:当
都为正偶数或正奇数 时,※=
;当
中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=
.则在此定义下,集合
※
中的元素个数是 ( )

A.
个 B.
个 C.个 D.个

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11.曲线
与直线
围成的封闭图形的面积为 .

12. 过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____ ____．

13. 在
中，
分别是内角
的对边，已知
，则
.

14.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.

15.给出下列命题：①函数
在区间[1,3]上是增函数；

②函数
的零点有3个；

③不等式
恒成立，则
；

④已知
则

⑤
是函数
为偶函数的一个充分不必要条件.

其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上） .

三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16.（本小题满分12分）

已知递增等比数列
的前项和为
，
，且
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，求数列
的前项和
.

17.（本小题满分12分）

已知向量
，
．

(1)当
时，求
的值；

(2)设函数
，已知在
中，内角
的对边分别为
，若
，
，
，求
（
）的取值范围.

18.（本小题满分12分）

北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不

低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入
万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入
万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

19.（本小题满分12分）

在长方体ABCD- A1B1C1D1中,AD＝１,AA1＝AB＝２．点E是线段AB上的动点,点M为D1C的中点．

(1)当E点是AB中点时,求证：直线ME‖平面ADD1 A1；

(2)若二面角A- D1Ｅ-Ｃ的余弦值为
．求线段AE的长．

20. （本小题满分12分）

已知椭圆
的两个焦点分别为
、
,短轴的两个端点分别为

(1)若
为等边三角形,求椭圆
的方程;

(2)若椭圆
的短轴长为,过点
的直线与椭圆
相交于
两点,且
,求直线的方程.

21.（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求
在区间
上的最小值；

（Ⅱ）讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）当
时，有
恒成立，求的取值范围．


三、

16.解：（1）设公比为q，由题意：q>1,
，则
，
，

∵
，∴

则
解得：
或
（舍去），∴

（2）

17.解：
（2）

解析：（1）

（2）
+

由正弦定理得
或

因为
，所以

,

,

所以

18.解：(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，

整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

(2)依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，

等价于x＞25时，a≥＋x＋有解．

由于＋x≥2 ＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2.

当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.

19. （1）证明：取
的中点N，连结MN、AN、
，

MN∥
，AE∥
，

四边形MNAE为平行四边形，可知 ME∥AN

，

∥平面
.

（2）解：设
，如图建立空间直角坐标系

，

平面
的法向量为
，由

及

得

平面
的法向量为
，由

及

得

，即
，解得
所以

20.解：(1)设椭圆
的方程为
.

根据题意知
, 解得
,

故椭圆
的方程为
.

21.解：（Ⅰ）当
时，
，

∴
．

∵
的定义域为
，∴由
得
由
得
．.2分

∴
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，

∴
． .............4分

（Ⅱ）
．

①当
，即
时，
在
单调递减；.......5分

②当
时，
在
单调递增； .........6分