数学理试题

（试卷满分150分 ）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数
的实部和虚部相等, 则实数=

A．
B．1 C．
D．2

2．设
，则a，b，c的大小关系是

A．
B．

C．
D．

3．已知函数
（a、b为常数，
）在
处取得最小值，则函数
是（ ）

A．奇函数且它的图象关于点
对称

B．奇函数且它的图象关于点
对称

C．偶函数且它的图象关于点
对称

D．偶函数且它的图象关于点
对称

4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
B．
C．40 D．80

5．已知
展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是

A．28 B．48 C．28或48 D．1或28

6．由曲线
，直线
及轴所围成的封闭图形的面积为

A．
B．4 C．
D．6

7．某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，已知130～140分数段的人数为90，90～100分数段的人数为a，则下图所示程序框图的运算结果为（注：n！＝1×2×3×…×n，如5！＝1×2×3×4×5）

A．800! B．810! C．811! D．812!

8．下列命题正确的个数是

①已知复数
，在复平面内对应的点位于第四象限；

②若
是实数，则“
”的充要条件是“
”；

③命题P：“
”的否定P：“
”；

A．3 B．2 C．1 D．0

9．已知集合
，若对于任意
，存在
，使得
成立，则称集合是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是

A．
B．

C．
D．

10．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为，原点O到弦AP的长为d，则函数d＝f（）的图像大致是

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11．若点
在直线
上，其中
则
的最小值为 ．

13．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为 ．

14．设函数
在其图像上任意一点
处的切线方程为
，且
,则不等式
的解集为 ．

15．选作题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按第一题评阅计分。本题共5分。

A:（坐标系与参数方程）已知圆C的极坐标方程为
，则圆心C的一个极坐标为 ．

B:（不等式选讲）不等式
的解集是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的最小正周期及单调递增区间；

（2）在
中，A、B、C分别为三边
所对的角，若
，求
的最大值．

17．（本小题满分12分）

甲、乙两名教师进行乒乓球比赛,采用七局四胜制（先胜四局者获胜）．若每一局比赛甲获胜的概率为
,乙获胜的概率为
,现已赛完两局,乙暂时以2∶0领先．

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设比赛结束时比赛的局数为随机变量X，求随机变量X的概率分布和数学期望EX．

18．（本小题满分12分）

在直三棱柱中, AA1=AB=BC=3,AC=2, D是AC的中点．

（1）求证:B1C∥平面A1BD；

（2）求平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

已知数列
满足：
，且
。

（1）求通项公式
；

（2）求数列的前n项的和

20．（本小题满分13分）

已知椭圆C：
的离心率为
，左、右焦点分别为
，点G在椭圆C上，且
，
的面积为3．

（1）求椭圆C的方程：

（2）设椭圆的左、右顶点为A，B，过
的直线与椭圆交于不同的两点M，N（不同于点A，B），探索直线AM，BN的交点能否在一条垂直于轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由。

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
．

（1）若
，求函数
的单调区间；

（2）若
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）设
，若对任意的两个实数
满足
，总存在
，使得

成立，证明：
．



一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

A

A

A

C

C

B

C

B

D



二、填空题

11．
12．10 13．4 14．

15．A:
B:

三、解答题

（2）由
可得
，又
，所以
。…8分

由余弦定理可得
，即
又
，所以
，故
，当且仅当
，即
时等号成立

因此
的最大值为
。………………………………………………………12分

17．（1）设甲获胜为事件A,则甲获胜包括甲以4∶2获胜和甲以4∶3获胜两种情况．

设甲以4∶2获胜为事件A1,则
………………………………2分

设甲以4∶3获胜为事件A2,则
………………5分

P（A）=
．…………………………… 6分

（2）随机变量X可能的取值为4,5,6,7,

=
．

．

．

．

X的概率分布为：

X

4

5

6

7



P












…………………………………12分

18．解:

（1）连接AB1交A1B与点E,连接DE,则B1C∥DE，则B1C∥平面A1BD……4分

（2）取A1C1中点F,D为AC中点,则DF⊥平面ABC,

又AB=BC,∴BD⊥AC,∴DF、DC、DB两两垂直,

建立如图所示空间直线坐标系D-xyz,则D（0,0,0）, B（0,
,0）,A1（-1,0,3）

设平面A1BD的一个法向量为
,

取
，则
，
………………………8分

设平面A1DB与平面DBB1夹角的夹角为θ，平面DBB1的一个法向量为
，………………………………………………10分

则

∴平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值为
。…………………12分

19．解：（1）当是奇数时，
，所以
，

所以
是首项为
，公差为2的等差数列，

因此
。……………2分

当为偶数时，
，所以
，

所以
是首项为
，公比为3的等比数列，

因此
。………………………………4分

综上
……………………………………………6分

（2）由（1）得
…8分

……………………………………10分

所以
……………………………………12分

20．解：（1）设
，由于
，所以
，

根据
，得
，即
，

因为
的面积为3，
，所以
，

所以有
，解得
，所以
，

所以椭圆才Ｃ的方程为
。…………………………………………………5分

（2）由（1）知
。

①当直线的斜率不存在时，直线：
，直线与椭圆Ｃ的交点坐标
，
，此时直线
，联立两直线方程，解得两直线的交点坐标（４，３）。它在垂直于轴的直线
上。……………………………7分

②当直线的斜率存在时，

设直线
，代入椭圆Ｃ的方程
，整理得
，设直线与椭圆Ｃ的交点
，则
。

直线AM的方程为
，即
，

直线BN的方程为
，即

由直线AM与直线BN的方程消去，得

所以直线AM与直线BN的交点在直线
上。……………………………12分

综上所述，直线AM，BN的交点必在一条垂直于轴的定直线上，这条直线的方程是
。……………………………………………………………………………………13分

21．解（1）当
时，函数
，

则

．

当
时，
，当
时，
1，

则函数
的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，
．………………4分

（2）
恒成立，即
恒成立，整理得
恒成立．

设
，则
，令
，得
．当
时，
，函数
单调递增，当

时，
，函数
单调递减，因此当
时，
取得最大值1，因而
．…………………………………………8分

（3）
，
．

因为对任意的
总存在
，使得
成立，

所以
， 即
，

即

．…………………………………………………………12分

设
，其中
，则
，因而
在区间（0，1）上单调递增，
，又
．

所以
，即
．………………………………………… 14分