本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.

3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知是虚数单位，若
，则的虚部为

A.
B.
C.
D.

2.已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

3.设
是两个实数，命题“
中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是

A.
B.

C.
D.

4.右边程序框图中，若输入
，
，则输出
的

值分别是

A.
B.
C.
D.

5.已知双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则双曲线的离心率等于

A.
B.
C.
D.

6.定义：
，若函数
，

将其图象向左平移
个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是

A.
B.
C.
D.

7.已知函数
则
的大致图象是

8.右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，

则该几何体的体积为

A.
B.

C.
D.

9.若实数
满足的约束条件
，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为
，则函数
在点
处取得最大值的概率为

A.
B.
C.
D.

10.已知
是
内的一点（不含边界），且

若
的面积分别为
，记
，

则
的最小值为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．

11.已知
,
，
．

12.采用系统抽样方法从
人中抽取
人做问卷调查，为此将他们随机编号为
，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为
，抽到的
人中，编号落入区间
的人做问卷,编号落入区间
的人做问卷,编号落入区间
的人做问卷
,则抽到的人中，做问卷
的人数为 ．

13.对大于的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”
仿此，若
的“分裂”数中有一个是
，则
的值为 .

14.已知函数
满足
，且
是偶函数，当
时，
，若在区间
内，函数
有个零点，则实数的取值范围是 ．

15.抛物线
的焦点为，点为抛物线上的动点，点
为其准线上的动点，当
为等边三角形时，则
的外接圆的方程为 ．

解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明， 证 明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

在
中，
所对的边分别
,
,
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
,求
.

17.（本小题满分12分）

已知数列
是等比数列，首项
，公比
，其前项和为
，且
，
，
成等差数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，
为数列
的前项和，若
恒成立，求的最大值.

18.（本小题满分12分）

甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完
局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，各局比赛结果相互独立.

（Ⅰ）求甲在局以内（含局）赢得比赛的概率；

（Ⅱ）记
为比赛决出胜负时的总局数，求
的分布列和期望.

19．（本小题满分12分）

如图，在
中，已知

在
上，且
又
平面
.

（Ⅰ）求证：
⊥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

20.（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在
处的切线方程；

（Ⅱ）设函数
，求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若
，在
上存在一点
，使得
成立，求的取值范围.

21．（本小题满分14分）

在
中，
的坐标分别是
，点
是
的重心，轴上一点
满足
，且
．

（Ⅰ）求
的顶点
的轨迹的方程；

（Ⅱ）直线
与轨迹相交于
两点，若在轨迹上存在点，使四边形
为平行四边形(其中
为坐标原点)，求的取值范围．

高三理数学参考答案 2015.3

二、11.
12.
13.
14.
15.

得
. ……… 3分

,或
(不成立). ……… 4分

即
, 得
，
， ……… 5分

，则
，或
（舍去） ……… 6分

. ……… 8分

（Ⅱ）
……… 10分

又
, 即
，

……… 12分

17.解：（Ⅰ）法一：由题意可知：

，

即
，于是
，
，
； ……… 3分

，
. ……… 4分

（Ⅰ）法二：由题意可知：

当
时，不符合题意； ……… 1分

当
时，
，

，
，
，……… 2分

，
, ……… 3分

，
. ……… 4分

（Ⅱ）
，
，
， ……… 5分

（1）

（2）

得：
……… 6分

……… 8分

恒成立，只需
……… 9分

为递增数列， 当
时，
， ……… 11分

，的最大值为. ……… 12分

18.解：（Ⅰ）设“甲在局以内（含局）赢得比赛”为事件，

则
，

甲在局以内（含局）赢得比赛的概率为
. ………4分

（Ⅱ）
的可能取值为
. ………5分

, ………6分

, ………7分

, ………8分

. ………9分

的分布列为























 ……10分

. ………12分

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设
， ……1分

由
平面
，知
⊥平面
.从而

在
中

为直角三角形，故
………3分

又
，
又
平面

平面
，
平面
．……5分

故
∵
∴
平面
…………6分

（Ⅱ）以
所在射线分别为
轴，建立直角坐标系如图.…7分

则由（Ⅰ）知，
,

………8分

由（Ⅰ）知
平面
是平面
的一个法向量，

设平面
的法向量为
，

令
，则
，……10分

………11分

由图可知，二面角
的余弦值为
……12分

20.解：（Ⅰ）当
时，
，
，切点
， ……1分

，
， ……3分

曲线
在点
处的切线方程为：
，即
. ……4分

（Ⅱ）
，定义域为
，

……5分

①当
，即
时，令
，

令
，