2015年皖北协作区高三年级联考参考答案

数 学（理科）

一、选择题

1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、A 7、C 8、D 9、D 10、A

二、填空题

11、
12、
13、968 14、
15、①③④⑤

三、解答题

16．解：

　(1)由正弦定理得，

即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)cos B，

化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)．

又A＋B＋C＝π，

所以sin C＝3sin A，因此
＝
. -------------------------------------- 6分

(2)由
＝
得c＝3a.

由余弦定理及cos B＝
得

b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋9a2－6a2×
＝9a2.

所以b＝3a.又a＋b＋c＝14.从而a＝2，因此b＝6. ------------------------ 12分

17．解：

（1）p=
=
------------- 5分

（2）赢取大物件的概率:

p=
=
------------- 7分

的分布列为：

0

1600

5400

7000















-------------- 10分

或

0

1600

5400

7000















-------------- 10分

=350+625+4375=5350（元） ----------------------12分

另注：若第一轮答题获得的物品价值记为
（单位：元），若第二轮答题获得的物品价值

记为
（单位：元）。 则：
=
+

=1350+4000=5350（元）

18．解 ：

（1）当
时

,

,

切线方程为：

即
--------------------------------5分

（2）由已知可得
，

即
----------------7分

①当
时，

函数
的递增区间为：（0，1） ，（，＋∞） ，递减区间为：（，）.

②当
时，

函数
的递增区间为：（
，＋∞） .

③当
时，

函数
的递增区间为：（0，） ，（，＋∞） ，递减区间为：（，）.

④当
时，

函数
的递增区间为：（，＋∞）， 递减区间为：（0，1）. ---------12分

注：每对一种情况给1分。

19．解 ：

因为
，所以2a=4，a=2

所以E:
,将P
代入可得

所以椭圆E的方程为
---------------------------------------4分

（2）

①当AC的斜率为零或斜率不存在时，
=
----------------5分

②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k（x+1），

代入椭圆方程
，并化简得
．

设A（x1，y1），C（x2，y2），则

------------------------9分

因为直线BD的斜率为
，

所以
---------------------------------11分
=

综上，

所以，存在常数
使得
成等差数列。----------------------------13分

20．解 ：

（1）设
的中点为O，连接
,
，

因为四边形
和
都是菱形, 且
，

所以三角形
和三角形
都是等边三角形，

所以

又
,所以

所以
--------------------4分

（2）因为三角形
面积相等，

所以
=

所以四面体
的体积为1. --------------------------- 8分

（3）由（1）知
，又因为平面
和平面
互相垂直，

所以
,

所以
三条直线两两垂直，

以O为坐标原点，分别以
为x轴，y轴，z轴建立坐标系，

,

设平面
的法向量
的坐标分别为
，

由
可得

所以可取
，同理可取

所以二面角
的正弦值为
。----------13分

21．解：（1）当
时，

--------------------------2分

所以
是以1为首项、1为公差的等差数列，

从而
. -----------------------5分

（2）

所以当
时，
--------------------------6分

当
时，因为

令

两式相减得

综上所述，对任意
----------------13分