本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1页～第2页，第II卷第3页～第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分150分,考试时间为120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）

1．设集合
,
，则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

2. 若复数
,
,则

（A）
（B）
（C）
（D）

3．双曲线
-
=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为

（A）
（B）
（C）2 （D）

4．已知向量
，
，则“
且
”是“
”的

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

5. 如右图所示的程序框图的输出值
，

则输入值的范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

6. 已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是

（A） 若
，
，则
（B） 若

，
，则

（C）若
，
，则
（D）若
，
，则

7．已知直线
按向量
平移后得到的直线与曲线
相切，则
可以为

（A）（0，1） （B）（1，0） （C）（0，2） （D）（2，0）

8． 函数
（其中
）的图象如图所示，为了得到
的图象，只需把
的图象上所有点

（A） 向左平移
个单位长度

（B）向右平移
个单位长度

（C） 向左平移
个单位长度

（D）向右平移
个单位长度

9．抛物线
上存在关于直线
对称的相异两点、，则
等于

（A）3 （B）4 （C）
（D）

10．2014年11月，亚太经合组织领导人非正式会议在北京召开，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他人所站的位置不做要求，那么不同的排法共有

(A)
种 (B)
种 (C)
种 (D)
种

11．在△ABC中，AB=4，AC=3，
，点H是△ABC的垂心，设存在实数
，使
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

12.
为球
的直径，
是该球球面上的两点，
，若棱锥
的体积为
,则球
体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)

数学试题（理科）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）

13．若
展开式中的所有二项式系数和为512，则展开式中的常数项为 .

14. 某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是 ．

15.已知实数
满足约束条件
，若目标函数
在点（-1，0）处取得最大值，则实数的取值范围为_________．

16．已知直角△ABC的内切圆半径为1，则△ABC面积的最小值是________________.

三、解答题（共6小题，满分70分）

17.（本题满分12分）

已知数列
中，
是它的前项和，并且
，
．

（Ⅰ）设
，求证：数列
是等比数列；

（Ⅱ）设
，求证：数列
是等差数列．

18．（本题满分12分）

在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格.

(Ⅰ)用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较.

(Ⅱ)求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；

(Ⅲ)从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望.

19．（本题满分12分）

在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
底面
，
，点是
的中点，作
交
于.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小.

20．（本题满分12分）

已知椭圆C：
的离心率为
，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 如图，设A是椭圆长轴一个顶点，直线
与椭圆交于P、Q（不同于A），若
，求证直线
恒过轴上的一个定点，并求出这个定点的坐标 ．

21.（本小题满分12分） 设函数

（I）求函数
的单调区间；

（II）若不等式
，（
）在
上恒成立，求
的最大值.

请考生在22,23,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
是⊙
的直径，
是⊙
的弦，
的平分线
交⊙
于，过点作
交
的延长线于点，
交
于点.若
，

(Ⅰ)求证:
∥
；

(Ⅱ)求
的值.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线

，过点
的直线
的参数方程为
.直线
与曲线
分别交于
.

(Ⅰ)求的取值范围;

(Ⅱ)若
成等比数列,求实数的值.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

(Ⅰ)当
时，求函数
的定义域；

(Ⅱ)若关于的不等式
的解集是，求的取值范围．

宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)

数学试题（理科）参考答案

选择题：BCAA CDAD CBAB

13、84；14、
；15、
；16、
.

三、17. 解（1）
，
，

两式相减，得：
，即：
，

变形得：
，

，即
；--------------------6分

因为
，即
，所以

∴数列
是以3为首项，以2为公比的等比数列；

（2）因为
，
．

代入得：
，

数列
是以
为首项，
为公差的等差数列．-----------------12分

…………………12分

18、解：（ 1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为89分；乙班平均分为89分。

甲班的方差>乙班的方差

所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定。……（4分）

（本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分）

（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A;

事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B

则
……………………（8分）

（3）X的取值为0,1,2,3，

分布列为

X

0

1

2

3



P











 期望
……………………（12分）

19． 解：（Ⅰ）∵
底面
，
平面

∴

∵
，

∴
平面
--------------------3分

∵
平面
，

∴

∵是
的中点，

∴

∵

∴
平面
----------------------5分

而
平面
，

∴

又
，

平面
-----------------6分

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设

则
------7分

设平面
的法向量是
，则
，

所以
，
，即
-------------------9分

设平面
的法向量是
，则

所以
，
，即
---------------10分

，即面角
的大小为
. ----------12分

20．解：（Ⅰ）
，

，

所以椭圆的方程是
.---------------------------3分

（Ⅱ）设直线AP的方程为
，

由
得，
.------------5分

则
，所以
，
，

因为
，设

以
代换
表达式中的
，得
，
-----8分

设直线PQ交轴于点M(m,0),

,
，

所以
---------------10分

则
，

所以直线EF过定点
.---------------12分

21.解：（I）函数
的定义域为
.

由
，得
；由
，得

所以函数
的增区间为
，减区间为
. …………………4分

（II）（解法一）由已知
在
上恒成立.

则
,令