海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文） 2015.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合
，
，则
（ ）



（A）

（B）



（C）

（D）



（2）抛物线
的焦点到准线的距离为（ ）



（A）

（B） 1

（C）

（D）



（3）已知函数
是奇函数，且当
时，
，则
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（4）某单位计划在下月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（5）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）





（A）





（B）





（C）





（D）











（6）“
”是“角是第一象限的角”的（ ）



（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件



（7）若
满足
则下列不等式恒成立的是（ ）



（A）

（B）



（C）

（D）



（8）某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图①②③④中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ）







①



②



③



④



（A）①②③

（B）①②④

（C）②③④

（D）①②③④



二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知单位向量与向量
的夹角为
，则
________.

（10）若复数
，且
,则实数=______．

（11）已知
为等差数列，
为其前项和.若
，
，则公差
________；
的最小值为 .

（12）对于
，以点
为中点的弦所在的直线方程是_____．

（13）设
对任意实数，关于的方程
总有实数根，则的取值范围是 .

（14）设全集
，用
的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：
表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.

①若
，则
表示的6位字符串为 ；

②若
, 集合
表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数是 .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分）

已知数列
的前项和为
,
，且
是
与的等差中项.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
的前项和为
,且对
,
恒成立,求实数
的最小值.

(16) （本小题满分13分）

某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：

分组（日销售量）

频率（甲种酸奶）



[ 0，10]

0.10



（10，20]

0.20



（20，30]

0.30



（30，40]

0.25



（40，50]

0.15



（Ⅰ）写出频率分布直方图中的的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；

（Ⅱ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为
，
，试比较
与
的大小；（只需写出结论）

（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量.

（17）（本小题满分13分）

在
中，
.

（Ⅰ）若
，求
的大小；

（Ⅱ）若
,求
的面积的最大值.

（18）（本小题满分14分）

如图1，在梯形
中，
，
，
，四边形
是矩形. 将矩形
沿
折起到四边形
的位置，使平面
平面
，
为
的中点，如图2.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
//平面
；

（Ⅲ）判断直线
与
的位置关系,并说明理由．

（19）（本小题满分13分）

已知椭圆
过点
，且离心率
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若椭圆
上存在点
关于直线
对称,求的所有取值构成的集合，并证明对于
，
的中点恒在一条定直线上.

（20）（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若存在两条直线
，
都是曲线
的切线，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若
，求实数的取值范围.

海淀区高三年级第二学期期中练习

数学（文）答案及评分参考 2015.4

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）C （3）D （4）B

（5）C （6）B （7）D （8）D

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）

（9） （10）0 （11）12；-54

（12）
（13）
（14）100110；4

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为
,

所以
. ………………1分

因为
是
与的等差中项,

所以
, 即
.

所以
. ………………3分

所以
是以1为首项，2为公比的等比数列.

所以
. ………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
.

所以
,
.

所以
是以1为首项,
为公比的等比数列. ………………9分

所以 数列
的前项和
. ………………11分

因为
，

所以
.

若
，当
时，
.

所以 若对
,
恒成立，则
.

所以 实数
的最小值为2. ………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）
； ………………2分

………………6分

（Ⅱ）
. ………………9分

（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：

（箱）. ………………11分

乙种酸奶未来一个月的销售总量为：
（箱）. ………………13分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）方法一：因为
且
，

所以
. ………………2分

又因为

， ………………4分

所以
.

所以
.

所以
. ………………6分

因为
，

所以
为等边三角形.

所以
. ………………7分

方法二： 因为
，

所以
. ………………1分

因为
，
，

所以
.

所以
. ………………3分

所以
.

所以
.

所以
. ………………5分

因为
，

所以
.

所以
，即
. ………………7分

（Ⅱ）因为

，且
，

所以
.

所以
………………9分

（当且仅当
时，等号成立）. ………………11分

因为
，

所以
.

所以
.

所以
.

所以 当
是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值
.

………………13分

（18）（共14分）

证明：（Ⅰ）因为 四边形
为矩形，

所以
.

因为 平面
平面
，且平面
平面
，

平面
，

所以
平面
. ………………3分

因为
平面
，

所以
. ………………5分

（Ⅱ）证明：因为 四边形
为矩形，

所以
.

因为
，
，
，

所以 平面
平面
. ………………7分

因为
平面
，

所以
平面
. ………………9分

（Ⅲ）直线
与
相交，理由如下： ………………10分

取
的中点，
的中点
，连接
，
，
.

所以
，且
.

在矩形
中，
为
的中点，

所以
，且
.

所以
，且
.

所以 四边形
为平行四边形.

所以
，
. ………………12分

因为 四边形
为梯形，为
的中点，
，

所以
，
.

所以 四边形
为平行四边形.

所以
，且
.

所以
且
.

所以
是平行四边形.

所以

，即

.

因为

，

所以 四边形
是以
，
为底边的梯形.

所以 直线
与
相交. ………………14分

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）因为 椭圆