海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理） 2015.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合
，
，则
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（2）抛物线
上的点到其焦点的最短距离为（ ）



（A）4

（B）2

（C）1

（D）



（3）已知向量与向量
的夹角为
，
，则
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（4）“
”是“角是第一象限的角”的（ ）



 （A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件



（5）圆
（
为参数）被直线
截得的劣弧长为（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（6）若
满足
则下列不等式恒成立的是（ ）



（A）

（B）



（C）

（D）



（7）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ ）







（A）



（B）



（C）



（D）



（8）某地区在六年内第年的生产总值（单位：亿元）与之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（ ）





（A）第一年到第三年

（B）第二年到第四年



（C）第三年到第五年

（D）第四年到第六年





二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知
，其中是虚数单位，那么实数= .

（10）执行如图所示的程序框图，输出的值为______．

（11）已知
是等差数列，那么
=______；
的最大值为______．

（12）在
中，若
，则
的大小为 .

（13）社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是 . （用数字作答）

（14）设
若存在实数，使得函数
有两个零点，则的取值范围是 .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的最小正周期及其图象的对称轴方程；

（Ⅱ）求
的单调递减区间.

（16）（本小题满分13分）

某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．

（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为
，
，试比较
与
的大小；（只需写出结论）

（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；

（Ⅲ）设
表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求
的数学期望．

（17）（本小题满分14分）

如图1，在直角梯形
中，
，
，
，四边形
是正方形. 将正方形
沿
折起到四边形
的位置，使平面
平面
，
为
的中点，如图2.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）判断直线
与
的位置关系，并说明理由．

（18）（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
（其中
），求的取值范围，并说明
.

（19）（本小题满分13分）

已知椭圆
过点
，且离心率
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）是否存在菱形
，同时满足下列三个条件：

①点在直线
上；

②点，
，在椭圆
上；

③直线
的斜率等于.

如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由.

（20）（本小题满分14分）

有限数列
同时满足下列两个条件：

① 对于任意的
（
），
；

② 对于任意的
（
），
，
，
三个数中至少有一个数是数列
中的项.

（Ⅰ）若
，且
，
，
，
，求的值；

（Ⅱ）证明：
不可能是数列
中的项；

（Ⅲ）求的最大值.

海淀区高三年级第二学期期中练习

数学（理）答案及评分参考 2015.4

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）C （3）D （4）B

（5）A （6）D （7）C （8）A

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）

（9） （10） （11）

（12）
或
（13）
（14）

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为
………………2分

.

所以
. ………………4分

令
，得：
. ………………6分

所以
的最小正周期为，对称轴的方程为
.

（Ⅱ）

. ………………9分

令
，

得：
.

所以
的单调递减区间为
. ………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）
； ………………2分

. ………………4分

（Ⅱ）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；

事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；

事件
：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则

，
. ………………6分

所以
. ………………8分

（Ⅲ）由题意可知，
的可能取值为0，1，2，3. ………………9分

，

，

，

.

所以
的分布列为

0

1

2

3





0.343

0.441

0.189

0.027



 ………………11分

所以
的数学期望
.

………………13分

另解：由题意可知
.

所以
的数学期望
. ………………13分

（17）（共14分）

证明：（Ⅰ）证明：因为 四边形
为正方形，

所以
.

因为 平面
平面
，平面
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………2分

因为
平面
，

所以
. ………………4分

（Ⅱ）解：如图，以点为坐标原点，分别以
所在的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
.

设
，则
.

所以
，
，
. ………………6分

设平面
的一个法向量为
.

由
得

令
，得
，所以
. ………………8分

设
与平面
所成角为，

则
.

所以
与平面
所成角的正弦值为
. ………………10分

（Ⅲ）解：直线
与直线
平行. 理由如下： ………………11分

由题意得，

.

所以
.

所以
. ………………13分

因为
，
不重合，

所以

. ………………14分

另解：直线
与直线
平行. 理由如下：

取
的中点，
的中点
，连接
，
，
.

所以
且
.

因为
为
的中点，四边形
是正方形，

所以
且
.

所以
且
.

所以
为平行四边形.

所以
且
.

因为 四边形
为梯形，
，

所以
且
.

所以 四边形
为平行四边形.

所以
且
.

所以
且
.

所以
是平行四边形.

所以

，即

. ………………14分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）
. ………………2分

（ⅰ）当
时，
，则函数
的单调递减区间是
.

………………3分

（ⅱ）当
时，令
，得
.

当变化时，
,
的变化情况如下表





















↘

极小值

↗



 所以
的单调递减区间是
，单调递增区间是
. ………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

当
时，函数
在区间
内是减函数，所以，函数
至多存在一个零点，不符合题意. ………………6分

当
时，因为
在
内是减函数，在
内是增函数，所以 要使
，必须
，即
.

所以
. ………………7分

当
时，
.

令
，则
.

当