本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.

3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知是虚数单位，若
，则的虚部为

A.
B.
C.
D.

2.已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

3.设
是两个实数，命题“
中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是

A.
B.

C.
D.

4.右边程序框图中，若输入
，
，则输出
的值分别是

A.
B.
C.
D.

5.已知双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则双曲线的离心率等于

A.
B.
C.
D.

6.已知
,
，
＝

A. B.
C.
D.

7.定义：
，若函数
， 将其图象向左平移
个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是

A.
B.
C.
D.

8.右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，

则该几何体的体积为

A.
B.

C.
D.

9.已知函数
则
的

大致图象是

10. 已知
是
内的一点（不含边界），且

若
的面积分别为
，记
，

则
的最小值为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．

11.向面积为
的
内任投一点,则
的面积大于
的概率为 ．

12.设
满足约束条件
,则
的最大值为 ．

13.对大于的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
仿此，若
的“分裂”数中有一个是
，则
的值为 .

14.已知抛物线
的焦点为，点为抛物线上的动点，点
为其准线上的动点，若
为边长是
的等边三角形，则此抛物线方程为 .

15.已知函数
满足
，且
是偶函数，当
时，
，若在区间
内，函数
有个零点，则实数的取值范围是 ．

解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

在
中，
所对的边分别
,
,
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
,求
.

17.（本小题满分12分）

某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有
和
两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：

型号

甲样式

乙样式

丙样式























按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取
个，其中有乙样式的杯子
个.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为
的样本，从这个样本中任取个杯子，求至少有个
的杯子的概率.

18.（本小题满分12分）

已知数列
是等比数列，首项
，公比
，其前项和为
，且
，
，
成等差数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，
为数列
的前项和，若
恒成立，求的最大值.

19.（本小题满分12分）

如图所示，已知在四棱锥
中,
∥
,
,
，且
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）试在线段
上找一点
，使
∥平面
, 并说明理由；

（Ⅲ）若点
是由（Ⅱ）中确定的，且
，求四面体
的体积．

20.（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在
处的切线方程；

（Ⅱ）设函数
，求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若
，在
上存在一点
，使得
成立，求的取值范围.

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，
的两个顶点
的坐标分别是
，点
是
的重心，轴上一点
满足
，且
．

（Ⅰ）求
的顶点
的轨迹的方程；

（Ⅱ）不过点的直线与轨迹交于不同的两点
.若以
为直径的圆过点时，试判断直线
是否过定点？若过，请求出定点坐标，不过，说明理由．

高三文数学参考答案 2015.3

二、11.
12.
13.
14.
15.

三、16．解：（Ⅰ）
，
，

，

即
，

得
. ……… 3分

,或
(不成立). ……… 4分

即
, 得
，
， ……… 5分

，则
，或
（舍去） ……… 6分

. ……… 8分

（Ⅱ）
……… 10分

又
, 即
，

……… 12分

17.解：（Ⅰ）设该厂本月生产的甲样式的杯子为个，在丙样式的杯子中抽取了个，

由题意
，
……3分

在甲样式的杯子中抽取了
个，

，解得
，
. ………6分

（Ⅱ）设所抽样本中有个
的杯子，

，
. ………8分

也就是抽取的
个样本中有个
的杯子，分别记作
;
个
的杯子，分别记作
. ………9分

则从中任取个
的杯子的所有基本事件为
,
,
,

,
,
,
,
,
,
，共
个.…10分

其中至少有个
的杯子的基本事件有
,
,
,
,

,
,
,共
个； ………11分

至少有个
的杯子的概率为
. ………12分

18.解：（Ⅰ）法一：由题意可知：

，

即
，于是
，
，
； ……… 3分

，
. ……… 4分

（Ⅰ）法二：由题意可知：

当
时，不符合题意； ……… 1分

当
时，
，

，
，
，……… 2分

，
, ……… 3分

，
. ……… 4分

（Ⅱ）
，
，
， ……… 5分

（1）

（2）

得：
……… 6分

……… 8分

恒成立，只需
……… 9分

为递增数列， 当
时，
， ……… 11分

，的最大值为. ……… 12分

19. 解：（Ⅰ）连接
，过
作
,垂足为，

又已知在四边形
中，
,
∥
,

，∴ 四边形
是正方形． 1分

∴

．又 ∵
，∴
．

∴
．∴ ∠
．∴
． 2分

又∵
，
，∴
平面
． 4分

（Ⅱ）当
为
中点时，
平面
． 5分

证明：取
中点为