唐山市2014—2015学年度高三年级第一次模拟考试

文科数学参考答案

选择题：

A卷：BCAAB DBCCD AD

B卷：BDACB DBCAD AC

二、填空题：

（13）(－∞，－1]； （14）； （15）； （16）3π．

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）当n＝1时，由(1－q)S1＋q＝1，

当n≥2时，由(1－q)Sn＋qn＝1，得(1－q)Sn－1＋qn－1＝1，两式相减得

(1－q)an＋qn－qn－1＝0，

因为q(q－1)≠0，得an＝qn－1，当n＝1时，a1＝1．

综上an＝qn－1． …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知＝q，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列．

所以Sn＝，又S3＋S6＝2S9，得＋＝，

化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8．

故a2，a8，a5成等差数列． …12分

（18）解：

（Ⅰ）由表中数据计算得，＝5，＝4，＝8.5，＝10，

＝＝0.85，＝－＝－0.25．

所以，回归方程为＝0.85t－0.25． …8分

（Ⅱ）将t＝8代入（Ⅰ）的回归方程中得＝0.85×8－0.25＝6.55．

故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个． …12分

（19）解：

（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则

△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．

取CC1中点O，连OA，OB1，则

CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则

CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1． …6分

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，

所以OA⊥OB1．又OA⊥CC1，OB1∩CC1＝O，

所以OA⊥平面BB1C1C．

S□BB1C1C＝BC×BB1 sin60°＝2，

故VA－BB1C1C＝S□BB1C1C×OA＝2． …12分

（20）解：

（Ⅰ）设切点为P，连OO1，O1P，

则|OO1|＋|O1P|＝|OP|＝2，取A关于y轴的对称点A(，连A(B，故

|A(B|＋|AB|＝2(|OO1|＋|O1P|)＝4．

所以点B的轨迹是以A(，A为焦点，长轴长为4的椭圆．

其中，a＝2，c＝，b＝1，则

曲线Γ的方程为＋y2＝1． …5分

（Ⅱ）因为OB与圆O1相切，所以⊥．

设B(x0，y0)，则x0(x0－)＋y＝0． …7分

又＋y＝1，解得x0＝，y0＝±．

则kOB＝±，kAB＝， …10分

则直线AB的方程为y＝±(x－)，即

x＋y－＝0或x－y－＝0． …12分

（21）解：

（Ⅰ）由题意得x＞0，f((x)＝1－＋． …1分

由函数f(x)在定义域上是增函数得，f((x)≥0，即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋1（x＞0）．

因为－(x－1)2＋1≤1（当x＝1时，取等号），

所以a的取值范围是 [1，＋∞). …5分

（Ⅱ）g((x)＝ex(－1＋2lnx－x)， …7分

由（Ⅰ）得a＝2时，f(x)＝x－2lnx－＋1

且f(x)在定义域上是增函数得，又f(1)＝0，

所以，当x∈(0，1)时，f(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0． …10分

所以，当x∈(0，1)时，g((x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g((x)＜0．

故x＝1时，g(x)取得最大值－e． …12分

（22）解：

（Ⅰ）证明：因为

∠EDC＝∠DAC，

∠DAC＝∠DAB，

∠DAB＝∠DCB，

所以∠EDC＝∠DCB，

所以BC∥DE． …4分

（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以

∠CFA＝∠CED，由（Ⅰ）知∠ACF＝∠CED，所以

∠CFA＝∠ACF．设∠DAC＝∠DAB＝x，

因为＝，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，

所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，

在等腰△ACF中，π＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x＝，

所以∠BAC＝2x＝． …10分

（23）解：

（Ⅰ）C：（θ为为参数），l：x－y＋9＝0． …4分

（Ⅱ）设P(2cosθ，sinθ),

则|AP|＝＝2－cosθ，

P到直线l的距离d＝＝．

由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝， cosθ＝－．

故P(－，)． …10分

（24）解：

（Ⅰ）因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝

且f(1)＝f(－1)＝3，所以，f(x)＜3的解集为{x|－1＜x＜1}； …4分

（Ⅱ）|2x－a|＋|x＋1|＝|x－|＋|x＋1|＋|x－|≥|1＋|＋0＝|1＋|

当且仅当(x＋1)(x－)≤0且x－＝0时，取等号．

所以|1＋|＝1，解得a＝－4或0． …10分