2015年葫芦岛市第一次模拟考试

数学试题(理科)

参考答案及评分标准

一.选择题:每小题5分,总计60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

C

B

A

C

B

B

A

C

A



二.填空题:每小题5分,总计20分.

13. 70

14. 、-



15. (-∞,-2)

16.①③④



三.解答题:

17.(本小题满分12分)

解：（1）由a4+a8=22得：a6=11 又a3=5 ∴d=2, a1=1……………………2分

∴an=2n-1 …………………………………………………………………………4分

Sn===n2 ………………………………………………………………6分

(2) bn===(-)

当n=1时，b1=(1-)=<,原不等式成立；………………………………8分

当n≥2时，

b1+b2+…+bn=(-+-+-+-+…+-+-+-)

=(+--)<(+)=

∴b1+b2+…+bn<(n∈N*)………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

(1)证明：∵AB⊥平面BEC，CE?平面BEC ∴AB⊥CE

∵BC为圆的直径 ∴BE⊥CE ∵BE?平面ABE，AB?平面ABE，BE∩AB=B

∴CE⊥平面ABE ∵BF?平面ABE ∴CE⊥BF 又BF⊥AE 且CE∩AE=E

∴BF⊥平面AEC AC?平面AEC ∴BF⊥AC

（或由面面垂直的性质定理证明，请参照赋分）……………………6分

（2）设圆柱的底面半径为r,则圆柱的高为2r;

V圆柱=?r2·2r=2?r3.VA-BEC=·BE·EC·2r=·BE·EC·r

由题意：==3? ∴BE·EC=2r2

又BE2+CE2=4r2 由此解得：BE=EC=r…………8分

法一：

分别以EB、EC所在直线为x轴、y轴,E为坐标原点

建立如图所示坐标系；

则E（0，0，0）、B（r，0，0）、C（0，r，0）、A（r，0，2r）

=(0,0, 2r), =(-r,r,-2r),

设平面BAC的法向量为=(x1,y1,z1)，则由⊥，⊥得： ·=0且·=0

即：解得：,取y1=1得：=（1,1,0)

设平面CAE的法向量为=(x2,y2,z2)，则由⊥，⊥得：·=0且·=0

即：解得：取z2=1得： =（-,0,1) …………10分

∴cos<,>===-

由图形可知：二面角B-AC-E为锐二面角 ∴二面角B-AC-E的余弦值为…………12分

法二：过F作FG⊥AC于G，连BG；由（1）知：BF⊥平面ACE

∴FG为BG在平面AEC内的射影，又FG⊥AC，AC?平面AEC

∴由三垂线定理得：BG⊥AC ∴∠FGB即为二面角B-AC-E的平面角……10分

在RT?ABC中易求得：BG=r, 在RT?ABC中易求得：BF=r

∴在RT?BFG中:FG==r

∴cos∠FGB===

∴二面角B-AC-E的余弦值为………12分

19．（本小题满分12分）

(1)设第i组的频率为Pi(i=1,2,…,8),由图可知：P1=×30=, P2=×30=

∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2= 由题意：n×=5 ∴n=100………2分

又P3=×30=, P5=×30=, P6=×30=, P7=×30=, P8=×30=

∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+ P6+P7+ P8)=

∴第④组的高度为:h=×==

频率分布直方图如图：

（注：未标明高度1/250扣1分）………4分

（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，

“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，

从而
列联表如下：

将
列联表中的数据代入公式计算，得 ……6分

K2===≈3.030

因为3.030<3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关……8分

(3)由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑧组5，总计10人，则X的所有可能取值为0，1，2，3

P（X=i)= (i=0,1,2,3)

∴P（X=0)= ==,P（X=1)===,

P（X=2)===, P（X=3)= ==…………………………………10分

∴X的分布列为：

X

0

1

2

3



P











∴EX=0×+1×+2×+3×==……………………12分

(或由超几何分布的期望计算公式EX=n×=3×=)

20.(本小题满分12分)

解：（1）∵e= ∴a2=3c2=3a2-3b2 ∴2a2=3b2

将x=-c代入椭圆方程得：y2= y=± 由题意：=

2a=b2 解得：a2=3,b2=2

∴椭圆C的方程为：+=1…………

(2)联立方程组：联立并消元整理得：(3k2+2)x2+6ktx+3t2-6=0…………①

?=24(3k2+2-t2)>0 ∴3k2+2>t2………②

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解，由韦达定理得：

x1+x2=, y1+y2=k(x1+x2)+2t=+2t=

设MN的中点为G(x0,y0),则

x0==,y0== ∴线段MN的垂直平分线方程为：y-=-(x+)

将P（0，-)代入得：+= 化简得：3k2+2=4t ……………9分

代入②式得：4t>t2 ∴0

|MN|=·=·=·=·

设O到直线MN的距离为d,则

d=

∴S?NOM=·|MN|·d=···=·=·≤

(当且仅当t=2,k=±时取“=”号）

∴?MON面积的最大值为，此时直线l的方程为：y=±x+2. ……………………………12分

21. (本小题满分12分)

解：（1）f(x)=ax+,f′(x)=a- 由题意：f′(1)=2，f(1)=0 即a-b=2,a+b=0

解得：a=1,b=-1………………………………………………………………4分

(2)f(x)=x- 由g(x)≤mf(x)得：2lnx≤m(x-) 2lnx-m(x-)≤0

令?(x)=2lnx-m(x-) 则?′(x)=-m(1+)=

①当m=0时,?′(x)= >0恒成立，∴?(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴?（x)>?(1)=0

这与?(x)≤0矛盾，不合题意；

若m≠0，令?=4-4m2=4(1+m)(1-m)

②当m≤-1时，?≤0恒成立且-m>0 ∴-mx2+2x-m≥0恒成立即?′(x)≥0恒成立∴?(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴?（x)>?(1)=0，这与?(x)≤0矛盾，不合题意；

③当-10,方程-mx2+2x-m=0有两个不等实根x1,x2(不妨设x1

x1·x2=1>0,x1+x2=<0,∴x10恒成立∴?(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴?（x)>?(1)=0，这与?(x)≤0矛盾，不合题意；

④当00,方程-mx2+2x-m=0有两个不等实根x1,x2(不妨设x11∴00 ∴?(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴?（x)>?(1)=0，这与?(x)≤0矛盾，不合题意；

⑤当m≥1时，?≤0且-m<0 ∴?′(x)≤0恒成立 ?(x)在 [1，+∞）上单调递减 ∴?（x)≤?(1)=0， 合题意

综上所述，当m∈[1,+∞)时，g(x)≤mf(x)恒成立。…………………………………8分

（3）对任意的>1,?()=2ln-m(-)=lnk-m·

由（2）知，当m=1时，?()=lnk-m·<0恒成立，即lnk< 取k=得：

ln<=≈0.289.

由（2）④知当0?(1)=0

令=得：m=,?(x)=2lnx-m(x-)>0

∴?()=lnk-·= lnk->0 ∴lnk>

取k=得：ln>=≈0.286

∴0.286

∴ln≈0.29……………………………12分

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，

故∠PAD＝∠PDA.

因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，

∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，

∠DCA＝∠PAB，

所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.

因此BE＝EC. ………………5分

(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.

因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.

由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，

所以AD·DE＝2PB2. ………………10分

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：对于曲线M,消去参数，得普通方程为
,曲线
是抛物线的一部分；

对于曲线N，化成直角坐标方程为
，曲线N是一条直线. (2分)

(1)若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点
时满足要求，并且向左下方平行运动直

到过点
之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两

个公共点，所以
满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由
，

得

，求得
. 综合可求得的取值范围是：

或
. …………5分

(2)当
时，直线N:
，设M上点为
，
，则

，

当
时取等号，满足
，所以所求的最小距离为
. …………10分

24．解：

解：（1）

当
时，由
解得：
；当
时，由
得
，舍去；

当
时，由
，解得
.

所以原不等式解集为
.………5分

（2）由（1）中分段函数
的解析式可知:
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.并且
，所以函数
的值域为
.从而
的取值范围是
,进而

的取值范围是
.根据已知关于的方程
的解集为空集，所以实数的取值范围是
. …………10分