上饶市重点中学2015届高三六校第二次联考

数学试卷
（文科）

时间：120分钟 总分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．若复数
满足
（
为虚数单位），则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知全集
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．在
中，角
所对的边分别为
．若
，则边
（ ）

A．1 B．2 C．4 D．6

4．设
为两条不同的直线，
为两个不重合的平面．下列命题中正确的是（ ）

A．若

B．若
与
所成的角相等，则
平行或相交

C．若
内有三个不共线的点到
的距离相等，则

D．若

5．已知样本：8 6 4 7 11 6 8 9 10 5 则样本的平均值
和中位数
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．如图是某算法的程序框图，当输出的结果
时，正整数
的最小值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．记集合
，集合
表示的平面区域分别为
．若在区域
内任取一点
，则点
落在区域
中的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．函数
的单调增区间是（ ）

A．
B．

C．
D．

9．函数
都不是常数并且定义域均为
，则“
同是奇函数或同是偶函数”是“
的积是偶函数”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件

10．已知变量
满足约束条件
，且
的最大值为16，则实数
（ ）

A．
或6 B．5或
C．
D．6

11．已知双曲线
与
轴交于
两点，点
，则
面积的最大值为（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8

12．在平面直角坐标系中，O为原点，
，动点D满足

的最大值是（ ）

A．
B．
C．6 D．5

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13．已知方程：
在
上有解，则实数
的取值范围是 ．

14．已知三棱锥
满足棱
两两互相垂直，且

．则三棱锥
外接球的体积为 ．

15．过点
引直线，使点
，
到它的距离相等，则这条直线的方程为 ．

16．把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后，擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列
．若
902，则
．

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题共12分）对于数列
，定义其积数是
．

（1）若数列
的积数是
，求
；

（2）等比数列
中，

的等差中项，若数列
的积数
满足
对一切
恒成立，求实数
的取值范围．

18．（本小题共12分）甲、乙两位同学玩猜数字游戏：

（1）给出四个数字0，1，2，5，先由甲将这四个数字组成一个四位数，然后由乙来猜甲的四位数是多少，求乙猜对的概率；

（2）甲先从1，2，3，4，5，6这六个数中任选出两个数（不考虑先后顺序），然后由乙来猜．若乙至少答对一个数则乙赢，否则甲赢．问这种游戏规则公平吗？请说明理由．

19．（本小题共12分）已知E是矩形ABCD（如图1）边CD上的一点，现沿AE将△DAE折起至△D1AE（如图2），并且平面D1AE⊥平面ABCE，图3为四棱锥D1—ABCE的主视图与左视图．

（1）求证：直线BE⊥平面D1AE；

（2）求点A到平面D1BC的距离．

20．（本小题共12分）已知函数
（k为常数，
=2.71828……是自然对数的底数）．函数
的导函数为
，且
．

（1）求k的值；

（2）设
，
恒成立．求实数
的取值范围．

21．（本小题共12分）已知O为坐标原点，椭圆
的短轴长为2，F为其右焦点，P为椭圆上一点，且PF与x轴垂直，
．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线
与椭圆C交于不同的两点A、B，若以AB为直径的圆恒过原点O，求
弦长的最大值.

选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，BA是⊙O的直径，AD⊥AB，点F是线段AD上异于A、D的一点，且BD、BF与⊙O分别交于点C、E．求证：
．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线l的参数方程为
（
为参数），若以O为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为
．

（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；

（2）当
时，求直线l与曲线C公共点的极坐标．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知实数

，若不等式
有解，记实数M的最小值为m．

（1）求m的值；

（2）解不等式
．

上饶市重点中学2015届高三六校第二次联考

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

C

D

B

B

B

A

A

D

B

C



 数学试卷答案（文科）

13．
14．
15．
16．436

12．

17．解：（1）

……………… ①

当
，
……………… ②

①/②得：
……………………………………………………（4分）

当


…………………（6分）

（2）设等比数列
的公比为

是
和
的等差中项，且
=3

………………………（8分）

恒成立

即

即
………………………………（12分）

18．解：（1）由0，1，2，5组成的四位数共有18种，如下：

1025，1052，1205，1502，1250，1520，

2015，2051，2105，2501，2150，2510，

5012，5021，5102，5201，5120，5210

∴乙猜对的概率为
…………………………………………（6分）

（2）从1，2，3，4，5，6中任选出2个数，共有15种，如下：

（1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （2，3） （2，4） （2，5）

（2，6） （3，4） （3，5） （3，6） （4，5） （4，6） （5，6）

乙赢的概率为
甲赢的概率为

∴这种游戏规则不公平 …………………………………（12分）

19．解：（1）证明：由主视图和左视图易知：

∴
∴

……………………（5分）

（2）分别取
中点M，N

中，

设A到平面
的距离为

……………………（12分）

20、解：（1）

………………………………………………………（4分）

（2）
，由
得

即

令
，
则

在

……………………………………………………………（12分）

21．解：（1）由已知得
，又

椭圆C的方程为
…………………………（5分）

（2）（i）当直线OA的斜率不存在或斜率为零时，易知
；…（7分）

（ii）当直线OA的斜率存在且不为零时，
直线OA，OB互相垂直且由图像的对称性知，直线OA，OB为椭圆C有四个交点，从中任取两点作弦长AB所得的值相等.

设直线OA方程为：

联立：
解得：

不妨取A
同理取B

则
=

=

=
=

=
<
=

综上(i) (ii)可知：
………………………（12分）

22．证明：连接AC，EC,
,

，又
，

又
，
,
……………………（10分）

23．解：（1）由
得
，将其代入
中得：

直线
的直角坐标方程为
…………………………（3分）

由
，得

即

曲线C的直角坐标方程为
……………………………（6分）

（2）由
得

直线
与曲线C的