立体几何专题训练

1.如图所示空间图形中， 四边形
为矩形，
，
，
为
上的点，且
. （Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证；
； （Ⅲ）求三棱锥
的体积.

解： （Ⅰ）证明：

，

∴
，则

，则

∴

（Ⅱ）证明：依题意可知：
是
中点

则
，而

∴
是
中点 在
中，

∴

（Ⅲ）解：

∴
，而

∴

∴

是
中点

∴
是
中点 ∴

且

∴

∴
中，

∴

∴

2．如图,在四棱锥
中,底面
为直角梯形,
,
,平面
底面
,
为
的中点,
，
,
是棱
的中点。

（Ⅰ）求证:
平面
；

（Ⅱ）证明：
平面

（Ⅲ）求三棱锥
的体积。

解：证明:（Ⅰ）连接
，交
于
,连接
，
且
，即
，

∴四边形
为平行四边形,且
为
中点,又因为点
是棱
的中点,
，因为

平面
，
平面
，则
；

（Ⅱ）∵
为
的中点,
，

∴

(Ⅲ)
,已证出
平面
所以
到平面
的距离为
所以

3．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

（1）求证：
；（2）求证：

；

（3）求此几何体的体积.

解：（1）证明：
该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

两两互相垂直。

∵
，
，
，

∴

连BN，过N作
，垂足为M，

∵
，
，

∴
，

由三视图知，BC=4，AB=4，BM=AN=4，
，

∴
，
=
，

∵
，

，

∵
，

连接CN，

∴
，
，
，

∴
，

4．如右图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB ＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝
，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1的中点．

（1）求证：PN//平面ABC；

（2）求证：A1M⊥平面AB1C1；

（3）求点M到平面AA1B1的距离．

解：（1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点 ，∴CB1过点P， ∵N为AB1的中点，∴PN//AC, ∵
面
，
面
,

∴ PN//平面ABC.

（2）连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，∴ AC＝A1C1＝
∵
=，∴

∴
，

∴AC1⊥A1M. ∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，

∴B1C1⊥A1M，又
，故A1M⊥平面A B1C1，

（3）设点M到平面AA1B1的距离为h，

由（2）知B1C1⊥平面AA1CC1

∵

∴

∴

.

即点M到平面AA1B1的距离为
．

5.在四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠ACD＝90°,∠BAC＝∠CAD＝60°,

PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（1）若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；

（2）求四棱锥P－ABCD的体积V.

解：（1）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥CD．则EF⊥P C．

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．

（2）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝
，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2
，AD＝4．

∴SABCD＝

．

则V＝
．

6．如图所示，已知
中，
，

，
⊥平面
，
、
分别是
、
的中点．

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）设平面

平面
，求证
；

（3）求四棱锥B-CDFE的体积V．

解：（1）证明：
AB⊥平面BCD，
平面

，

又
，
，
平面
，

又E、F分别是AC、AD的中点，∴

∴EF⊥平面ABC

又
平面BEF，
平面BEF⊥平面ABC

（2）
CD // EF，
平面
，
平面

∴
平面
，

又
平面BCD，且平面

平面

∴
．

（3）由（1）知EF
CD

∴

∴

7．如图，圆O为三棱锥P-ABC的底面ABC的外接圆，AC是圆O的直径，PA
BC，点M是线段PA的中点．

（Ⅰ）求证: BC
PB；

（Ⅱ）设PA
AC，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P－MBC的

体积；

（Ⅲ）在
ABC内是否存在点N，使得MN∥平面PBC？

请证明你的结论.

解：（Ⅰ）证明：如图，因为，AC是圆O的直径，所以BC⊥AB

因为，BC
PA，又PA、AB
平面PAB，且PA
AB=A

所以，BC
平面PAB，又PB
平面PAB

所以，BC
PB

（Ⅱ）如图，在Rt
ABC中，AC=2，AB=1

所以，BC=
，因此，

因为，PA
BC，PA
AC，所以PA
平面ABC

所以，

（Ⅲ）如图，取AB得中点D，连接OD、MD、OM，则N为线段OD（除端点O、D外）上任意一点即可，理由如下：

因为，M、O、D分别是PA、AC、AB的中点

所以，MD∥PB,MO∥PC

因为，MD
平面PBC，PB
平面PBC

所以，MD∥平面PBC

同理可得，MO∥平面PBC

因为，MD、MO
平面MDO，MD
MO=M

所以，平面MDO∥平面PBC

因为，MN
平面MDO

故，MN∥平面PBC．

8.已知四棱锥
(图5) 的三视图如图6所示,
为正三角形,
垂直底面
,俯视图是直角梯形.(1)求正视图的面积;(2)求四棱锥
的体积;(3)求证:
平面
;

解:(1)过A作
,根据三视图可知,E是BC的中点,

且
,

又∵
为正三角形,∴
,且

∴

∵
平面
,
平面
,∴

∴
,即

正视图的面积为

(2)由(1)可知,四棱锥
的高
,

底面积为

∴四棱锥
的体积为

(3)证明:∵
平面
,
平面
,∴

∵在直角三角形ABE中,

在直角三角形ADC中,

∴
,∴
是直角三角形 ∴
又∵
,

∴
平面

9.如图,已知
⊙
所在的平面,
是⊙
的直径,
,C是⊙
上一点,且

,
.

(1) 求证:
;

(2) 求证:

;

(3)当
时,求三棱锥
的体积.

解: (1)证明:在三角形PBC中,

所以 EF//BC,

(2)

又
是⊙
的直径,所以

所以,

因 EF//BC
,所以

因为

, 所以

(3)
在
中,

=

当
时,
是
中点.
为
中点

10.如图,在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,
,
,现将梯形沿CB、DA折起,使EF//AB且
,得一简单组合体
,已知
分别为
的中点.

(1)求证:
平面
;

(2)求证:
平面
;

(3)若
,求四棱锥F-ABCD的体积.



解： (1)证明:连结
,∵四边形
是矩形,
为
中点,

∴
为
中点,

在
中,
为
中点,故

∵
平面
,
平面
,
平面
;

(2)依题意知
且

∴
平面

∵
平面
,∴
,

∵
为
中点,∴

结合
,知四边形
是平行四边形

∴
,

而
,∴
∴
,即
[来源:www.shulihua.net]

又
∴
平面
,

(3)解法1
:过F点作
交AB于Q点,由(2)知△PAE为等腰直角三角形,

∴
,从而
,

∴
,

又由(2)可知
平面ABCD,

∴
,

解法2:∵三棱锥F-CBD与F-ABD等底等高,∴
,

∴
,

由(2)知△PAE为等腰直角三角形,∴
,从而

故

∴

∴