江西省八所重点中学2015届高三联考数学（理科）试卷

命题人：九江一中 张思意 宜春一中 舒红艳

一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．

1. 已知集合

，

，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 如果
为纯虚数，则实数等于（ ）

A.0 B. -1或1 C. -1 D. 1

3. 在△
中,
是
的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4.数列{
}的前项和
，若p-q=5,则
= （ ）

A. 10 B. 15 C. -5 D.20

5.对任意非零实数、
,若
的运算原理如图所示，则
的值为（ ）

A.
B. C.
D.

6.在某次联考数学测试中，学生成绩
服从正态分布
，若
在
内的概率为
，则落在
内的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

7.函数
的部分图象如图所示，

则
+
+

+
的值为（ ）

A.0 B.3
C.6
D.-

8.若

，则
的值是（ ）

A．-2 B.-3 C.125 D.-131

9.已知圆
：
，圆
：
，椭圆
：
，若圆
都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.定义在上的函数
对任意
、
都有
，且函数
的图象关于
成中心对称，若，满足不等式
．则当
时，
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.正三角形
的边长为，将它沿高
翻折，使点与点
间的距离为
，此时四面体
外接球表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.在平面直角坐标系中，点是直线
上一动点，定点
,
点
为
的中点，动点
满足
,

,过点
作圆
的切线，切点分别为
,则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

13.计算：
= .

14.已知点
的距离相等，则
的最小值为 .

15.如图，圆
与轴的正半轴的交点为，点
、在圆
上，

且点
位于第一象限，点的坐标为（
），
．

若
，则
的值为 .

16.用
表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9,
，10的因数有1,2,5,10,
,那么
= .

三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．)

17.（本小题12分）已知
，集合
=
，把
中的元素从小到大依次排成一列，得到数列
，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）记
，设数列
的前项和为
，求证
.

18. (本题12分)如图，四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，
，
侧面
，△
是等边三角形，
，
，是线段
的中点．

（1）求证：
；

（2）求
与平面
所成角的正弦值．

19. (本题12分)已知集合
，函数
的定义域、值域都是，且对于任意
，
. 设
是
的任意一个排列，定义数表
，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表.

（1）求满足条件的不同的数表的张数;

(2)若
(
)，从所有数表中任意抽取一张，记
为表中
的个数，求
的分布列及期望.

20．(本题12分)已知椭圆C:
（
）的离心率=
，且过点M（1，
）

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆C长轴两端点分别为A、B,点P为椭圆上异于A、B的动点，定直线
与直线PA、PB分别交于M、N两点，又E(7，0)，过 E、M、N三点的圆是否过轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.

21. (本题12分)已知

（1）若
在定义域内单调递增，求的取值范围;

（2）当=-2时，记
得极小值为
。若
，求证：
.

请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分

22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲.

如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，
的平分线AC

交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于Q点，

(1)求证:
;

（2）若AQ=6，AC=5.求弦AB的长.
（第22题图）

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程.

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数). 在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为
.

写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)若点P坐标
，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

（1）已知函数
，求x的取值范围，使
为常函数；

（2）若
求
的最大值。

江西省八所重点中学2015届高三联考数学（理科）试卷参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

C

D

B

B

A

C

B

D

A

A



13 . 0 14.
15.
16 .

17.解：（1）



……（3分）

又


……（6分）

（2）


……（7分）

……（10分）

得证 ……（12分）

18.解：（1）证明：因为
侧面
，
平面
，

所以
．…………2分

又因为△
是等边三角形，是线段
的中点，

所以
．

因为
，

所以
平面
．……4分

而
平面
，

所以
．………5分

（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
．

则
，
，
，
．

，
，
．

设
为平面
的法向量．

由
即

令
，可得
．……9分

设
与平面
所成的角为
．

．

所以
与平面
所成角的正弦值为
． ……12分

19.解：（1）9
=
……5分

（2） p(
=1) =
,

p(
=2) =

p(
=3) =
……9分

因此，
的分布列如下：

1

2

3



P









E
=2 ……12分

20．解：（1）
………5分

(2)设PA,PB的斜率分别为
,
，则
………7分

则PA:
，则

PB:
,则

又
，

………10分

设圆过定点F(m,o),则
，则m=1或m=7(舍)

故过点E、M、N三点的圆是以MN为直径的圆过点F（1,0）………12分

解：21.解：（1）

依题意
恒成立，

令

在
单调递减，且
，

在区间
上存在唯一零点
………3分

在
上单调递增，在
上单调递减。

由
得
………5分

（2）当
时，

，

令

,显然
在区间
单调递减,

又
,

故存在唯一实数
,使得

在
上单调递增，在
上单调递减。

即
在
上单调递增，在
上单调递减。

又
,

,

由
知
,

在(
)上单调递减,在(
)上单调递增.

不妨设
由
,则

令
，

则
=

=
………8分

又
在
上单调递减，所以
<
=
=
=0

在
上单调递减，
<
=0,即：

又
=
<
=
……9分

又
在
上单调递减

………12分

22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 1

证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴

∵
∴

∴AC=BC=5

由切割线定理得：

∴
------------5分

（2） 由AC=BC=5，AQ=6 及（1）， 知 QC=9

由