新余市2015年高三“二模”统一考试数学试题卷（文科）

命题人：梁睿霞 刘金华 肖连奇 审校人：刘勇刚

本试卷分为试题卷和答题卷两部分，解答写在答题卷相应的位置．

全卷共１５０分，考试时间为１２０分钟

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.

1.设集合
，集合
，则
=

A．
B．
C．
D．

2.若复数的实部为，且
，则复数的虚部是

A.
B.
C.
D.

3.已知向量
，
，
，若为实数，
，则

A．
B．
C. D．

4.下列说法正确的是

A.样本
的标准差是
；

B.“
为真”是“
为真”的充分不必要条件；

C.K2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当K2的值很小时可以推定两类变量不相关；

D.设有一个回归直线方程为
，则变量每增加

一个单位，
平均减少
个单位.

5.等差数列
中的
是函数

的极值点，则
=

A． B．
C. D．

6．如图，给出的是计算
的值的程序框图，

其中判断框内应填入的是

A.
B.
C.
D.

7．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是

A．
B．

C．
D．

8. 函数
的部分图像如图所示，则
的解析式可以是 A．

B．

C.

D．

9.已知等差数列
的等差
，且
成等比数列，若
，
为数列
的前项和，则
的最小值为

A． B．
C．
D．

10．若
则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

11.如图，用一边长为
的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋

巢，将表面积为
的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为

A.
B．

C．
D．

12．已知双曲线:
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于
两点，
为坐标原点，若双曲线
的离心率为，
的面积为
，则
的内切圆半径为

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知
，则
．

14.在区间
上随机取一个数，则使函数
无零点的概率是 ．

15.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第N个“金鱼”图需要火柴棒的根数是????? ．

16.已知过抛物线
的焦点的直线交抛物线于
两个不同的点，过
分别作抛物线的切线，且二者相交于点
，则
的面积的最小值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知两直线
中，内角
对边分别为
时，两直线恰好相互垂直.

（1）求值；

（2）求
和
的面积.

18．（本小题满分12分）

随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．

（1）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；

（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，四边形
是梯形，四边形
是矩形，且平面
平面
，
,
，
是线段
上的动点．

（1）试确定点
的位置，使
∥平面
，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，求平面
将几何体
分成的上下两部分的体积之比．

20.（本小题满分12分）

已知两点
及
,点在以
、
为焦点的椭圆
上,且
、
、
构成等差数列.

（1）求椭圆
的方程；

（2）如图,动直线
与椭圆
有且仅

有一个公共点,点
是直线
上的两点,

且
,
.求四边形

面积
的最大值.

21.（本小题满分12分）

设函数
.

(1)当
时，
在
上恒成立，求实数的取值范围;

(2)当
时，若函数
在
上恰有两个不同零点，求实数的取值范围;

（3）是否存在实数，使函数
和函数
在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

请考生从第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时

请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧
上的点

(不与点A，C重合)，延长BD至E.

(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；

(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为
，求

△ABC外接圆的面积．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

直角坐标系
的原点和极坐标系
的极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同．在直角坐标系下，曲线
的参数方程为
(为参数)．

(1)在极坐标系下，曲线C与射线
和射线
分别交于
两点，求
的面积；

(2)在直角坐标系下，直线
的参数方程为
(为参数)，求曲线
与直线
的交点坐标．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

（1）求不等式
的解集；

（2）若关于的不等式
的解集非空，求实数的取值范围.

新余市2015年高三“二模”考试质量检测

数学 参考答案（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

B

D

A

C

B

C

A

D

D

C



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.
； 14.
； 15.
； 16. 4

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17（满分12分）

(1)当
时，直线
的斜率分别为
，两直线相互垂直

所以
即

可得

所以
，所以

即

即
………………………………4分

因为
，
，所以

所以只有

所以
………………………………6分

(2)
,所以

即
，所以

即
………………………………9分

所以
的面积为
………… 12分．

18（满分12分）

（1）
………………2分

………………4分

解得
所以污损处是9. ………………6分

（2）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为，

从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件 ………………8分

而事件含有4个基本事件 ………………10分

∴
＝
＝
………………12分

另解：

19（满分12分）

当
是线段
的中点时，
∥平面
．

证明如下：

连结
，交
于
，连结
，

由于
分别是
、
的中点，所以
∥
，

由于
平面
，又
平面
，

所以
∥平面
. ………………6分

（2）如图，将几何体
补成三棱柱
，

三棱柱
的体积为
，

则几何体
的体积

三棱锥
的体积
，

故两部分的体积之比为
………………12分

20（满分12分）

解：解析：(1)依题意,设椭圆
的方程为
.

构成等差数列,

,
.

又
,
.

椭圆
的方程为
………………4分

(2) 将直线
的方程
代入椭圆
的方程
中,

得

由直线
与椭圆
仅有一个公共点知,
,

化简得:
………………7分

设
,
,

(法一)当
时,设直线
的倾斜角为
,

则
,

, ……10分

,当
时,
,
,
.

当
时,四边形
是矩形,

所以四边形
面积
的最大值为
………………12分

(法二)
,

.

.

四边形
的面积

, ………9分

当且仅当
时,
,故
.

所以四边形
的面积
的最大值为
………………12分

21（满分12分）

解:（1）当
由
可得
，即错误！未找到引用源。……1分

记错误！未找到引用源。，则
在