2015年4月玉林市贵港市高中毕业班联合考试数学试卷（文科）

2015.4.

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{－3,－1，1,2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝

(A){1} (B){1，2} (C){－3,1,2} (D){－3,0,1}

2．复数的共轭复数是

(A)－1－i (B)－1＋i (C)1－i (D)1＋i

3．“sin2θ＜0”是“tanθ＜0”的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

4．某市修建经济适用房，已知A、B、C三个社区分别有低收入家庭400户、300户、200户，若首批经济适用房有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从A社区中抽取低收入家庭的户数为

(A)40 (B)36 (C)30 (D)20

5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，离心率为，则它的一个焦点到它的一条渐近线的距离为

(A)1 (B)2 (C) (D)2

6．设f (x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x＋2)＝－f (x)，当0≤x≤1时有f (x)＝2x，则f (2015)＝

(A)－1 (B)－2 (C)1 (D)2

7．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出S的值是

(A)25

(B)55

(C)72

(D)110

8．设x、y满足约束条件，则z＝x－2y的最大值为

(A)11 (B)－1 (C)12 (D)－2

9．一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形，则该几何体的体积V是

(A)1 (B)

(C) (D)2

10．设F为抛物线y2＝5x的焦点，P是抛物线上x轴上方的一点，若|PF|＝3，则直线PF的斜率为

(A)3 (B) (C) (D)2

11.若函数f (x)＝ex＋4x－kx在区间(,＋∞)上是增函数，则实数k的最大值是

(A)2＋e (B)2＋ (C)4＋e (D)4＋

12．定义运算M：xy＝设函数f (x)＝(x2－3)(x－1)，若函数y＝f (x)－c恰有两个零点，则实数c的取值范围是

(A)(－3,－2)∪[2,＋∞) (C)(－1,0]∪(2,＋∞)

(C)(－3,－2) (D)(－1,0)

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在1，3，5，7中任取两个不同的数，则这两个数的和为8的概率为__________。

14．设向量、满足||＝1，|－|＝，?(－)＝0，则|2＋|＝______。

15．在△ABC中，A＝45°，AB＝2，BC＝3，则AC＝_____________。

16．已知A为射线x＋y＝0(x＜0)上的动点，B为x轴正半轴上的动点，若直线AB与圆x2＋y2＝1相切，则|AB|的最小值为__________。

三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn。

(18)（本小题满分12分）

某市地铁即将于2015年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：

月收入(单位百元)

[15，25)

[25，35)

[35，45)

[45，55)

[55，65)

[65，75)



赞成定价人数

1

2

3

5

3

4



认为价格偏高人数

4

8

12

5

2

1



(Ⅰ)若以区间的中点为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少（结果保留2位小数）；

(Ⅱ)由以上统计数据填下面2乘2列联表并分析是否有99%的把认为“月收入以5500元为分届点对地铁定价的态度有差异”。

月收入不低于55百元的人数

月收入低于55百元的人数

合计



认为价格偏高者

a＝

c＝





赞成定价者

b＝

d＝





合计









参考数据K2＝

P(χ2≥k)

0.05

0.01



k

3.841

6.635





19．（本小题满分12分）

四棱锥S－ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC、AD的中点，

(Ⅰ)求证：MN∥平面SAD；

(Ⅱ)求证：平面SOB⊥平面SCM。

(20)（本小题满分12分）

已知一椭圆E的中心在坐标原点，左右焦点在x轴上，若其左焦点F1(－c，0)(c＞0)到圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1上任意一点距离的最小值为4，且过椭圆右焦点F2(c，0)与上顶点的直线与圆O：x2＋y2＝相切

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)若直线l:y＝－x＋m与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆与y轴相切时，求△F1AB的面积。

(21)（本小题满分12分）

定义在(0,＋∞)上的三个函数f (x)，g(x)，h(x)，已知f (x)＝lnx，g(x)＝x2－af(x)

h(x)＝x－a，且g(x)在x＝1处取得极值。

(Ⅰ)求a的值及h(x)的单调区间；

(Ⅱ)求证：当1＜x＜e2时，恒有x＜。

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时标出所选题目的题号。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D，使BC＝CD，

过点C作圆O的切线交AD于E。

(Ⅰ)求证：CE⊥AD；

(Ⅱ)若AB＝2，ED＝，求证：△ABD是等边三角形.

23．（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程(φ为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

(Ⅰ)求圆C的极坐标方程；

(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋cosθ)＝3，射线OM:θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长。

24．(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲

已知函数f (x)＝|x－1|.

(Ⅰ)解不等式f (x)＋f (x＋4)≥8

(Ⅱ)若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f (ab)＞|a|f ()

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

C

A

B

B

C

A

C

C

D

A



13． 14. 2 15. ＋ 16. 2＋2

解析：

2.＝＝1＋i，其共轭复数为1－i，选C

4．设从A社区抽取n户，则＝，解得n＝40，选A

6．∵f (x＋2)＝－f (x)，得f (x＋4)＝f (x)，故周期为T＝4，

又∵函数为奇函数，f (2015)＝f (504×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，故选B

7．此程序是求i＝1，3，5，7，9，11时，2i的值的和，

故输出的S＝2＋6＋10＋14＋18＋22＝72

9．由三视图可知，该几何体是一个平行六面体，其底面是边长为1的正方形，高为，

∴V＝1×1×＝

12．由题意得f (x)＝，作出函数f (x)的图象如图，

要使函数y＝f (x)－c恰好有两个零点，即使函数y＝f (x)与函数y＝c的图象有两个交点，由图象可知，当c∈(－3，－2)∪[2，＋∞)时，函数y＝f (x)与函数y＝c的图象有两个交点，即函数y＝f (x)－c恰好有两个零点。

14. ∵?(－)＝0∴?＝2＝||2＝1

∵|－|＝

∴(－)2＝3

∴2－2?＋2＝3

∴2＝4

∴|2＋|＝＝＝＝2

16．设A(－a，a)，B(b，0) (a＞0，b＞0)，则|AB|＝＝

又×|AB|×1＝S△AOB＝ab得|AB|＝ab∴＝ab

∴(ab)2＝2a2＋b2＋2ab≥2＋2ab∴ab≥2＋2(当b＝a时取等号)

∴|AB|的最小值为2＋2.

(17)（本小题满分12分）

(Ⅰ)∵{an－1}是等比数列且a1－1＝2，a2－1＝4，＝2

∴an－1＝2?2n－1＝2n，∴an＝2n＋………………………………6分

(Ⅱ)bn＝nan＝n?2n＋n

故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n?2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)

令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n?2n则

2T＝22＋2×22＋3×24＋…＋n?2n＋1

两式相减得－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n?2n＋1＝－n?2n＋1

∴T＝2(1－2n)＋n7`2n＋1＝2＋(n－1)?2n＋1

∵1＋2＋3＋…＋n＝∴Tn＝(n－1)?2n＋1＋……………………………12分

(18)（本小题满分12分）

(Ⅰ)“赞成定价者”的月平均收入为

x1＝≈50.56…………………2分

“认为价格偏高者”的月平均收入为：

x2＝＝38.75…………………………4分

“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是：

x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元）……………………………………6分

（Ⅱ）根据条件可得2×2列联表

月收入不低于55百元的人数

月收入低于55百元的人数

合计



认为价格偏高者

a＝3

c＝29

32



赞成定价者

b＝7

d＝11





合计

10

40

50



K2＝≈6.27＜6.635……………………………11分

∴没有99%的把握认为月收放以5500为分届点对地铁定价的态度有差异。………12分

19．（本小题满分12分）

如图，取SD的中点R，连结AR、RN，

则RN∥CD，且RN＝CD，AM∥CD

∴RN∥AM，且RN＝AM

∴四边形AMNR是平行四边形

∴MN∥AR，由AR(平面SAD，MN平面SAD

∴MN∥平面SAD…………………………6分

（Ⅱ）如图，设OB∩CM＝H，由SO ⊥AD，面SAD ⊥面ABCD

∴SO⊥平面ABCD，∴CM⊥SO

易得△ABO≌△BCM∴∠ABO＝∠BCM

则∠BMH＋∠ABO＝∠BMH＋∠BCM＝90°

∴CM⊥OB

∴CM ⊥平面SOB

∵CM(平面SCM

∴平面SOB ⊥平面SCM…………………………………………12分

20．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，

则椭圆的右焦点到圆上任意一点距离的最小值为：

－1＝4又c＞0∴c＝1………………………………3分

过椭圆右焦点和上顶点的直线方程为＋＝1即bx＋y－b＝0

由直线和圆O相切可得＝，解之得b＝1，

∴a2＝b2＋c2＝2

∴椭圆E的方程为＋y2＝1………………………………………………5分

此时|AB|＝＝＝

点F1到直线AB的距离为d＝

∴当m＝时，△F1AB的面积为S＝|AB|?d＝×(1＋)＝…………11分

当m＝－时，△F1AB的面积为S＝|AB|?d＝×(－1＋)＝………12分

(21)（本小题满分12分）

(Ⅰ)由题意得，g(x)＝x2－af(x)＝x2－alnx

∴g'(x)＝2x－………………………………………………………………………….2分

∵g(x)在x＝1处取得极值，∴g'(1)＝2－a＝0∴a＝2

∴h(x)＝x－2，h'(x)＝1－…………………………………………………4分

∴当1＜x＜e2时，恒有x＜………………………………………………………………………………………12分

23．解：(Ⅰ)圆C的普通方程是(x－1)2＋y2＝1又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ

∴圆C的极坐标方程是ρ＝2cosθ ……………………………………………………………5分

(Ⅱ)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有，解得

设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，则有，解得

由于θ1＝θ2，∴|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2

∴线段PQ的长为2 ……………………………………………………………………………10分

24．(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲

解：(Ⅰ)f (x)＋f (x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝