乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

C

D

C

B

D

A

A

C

C

C

A

B



1.选C.【解析】∵
，
，∴
，

故选C.

2.选D.【解析】∵
，其共轭复数是
故选D.

3.选C.【解析】依题意，
，则

故选C.

4.选B. 【解析】①错，②对，③对，④错. 故选B.

5.选D.【解析】
，曲线在
处切线的斜率
，∵此切线与直线
垂直，∴直线
的斜率
，即
. 故选D.

6.选A.【解析】由题意得
，即
解得：

，∵
是区间
上的减函数,

∴


，∴
，故选A.

7.选A.【解析】如图该几何体为一三棱锥，设外接球半径为

由题意得
，解得
∴
，故选A.

8.选C.【解析】执行第一次运算
，

执行第二次运算
，执行第三次运算
，执行第四次运算
输出
.故选C.

9.选C.【解析】将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有
种不同放法，放对的个数
可取的值有0，1,2,4. 其中
，
,
,
，

.故选C.

10.选C.【解析】∵
为奇函数，则函数
的图像关于点
对称，则函数
的图象关于点
对称，故函数
满足
.

设
，倒序后得
，两式相加后得
，

∴
.故选C.

11.选A.【解析】
，渐近线方程为
直线
的方程为：
，设
，
依题意知，
分别满足
，
，得
∵
，∴
,

∴
，化简得
.故选A.

12.选B.【解析】∵
，∴
,即

,整理的
,则
,∵
,∴
,∴
为锐角，故为锐角，则
，

,当且仅当
时等号成立，

∴
的最大值为
.故选B.

二、填空题

13.填
.【解析】由题意得：
，∴
.

14.填.【解析】∵
,∴
,∵
,

∴
,∴
,

∴

15.填
.【解析】

若
，由
得
，得
，与
矛盾；

若
，由
得
，得
，与
矛盾；

若
，由
得
，得
，

而
，∴
，∴

16.填.【解析】依题意知，直线
的斜率存在，且
，

设其方程为
代入
有

设
则
，又
，
，∴
,而
异号，∴
，∵
,又∵
，

故
，即
,将
，
代入，有
,∴
，又
,

∴

三、解答题

17．（12分）

（Ⅰ）当
时，
，得
，由
得
，两式相减，得
，即
，∴
，而
，∴数列
是首项为，公比为的等比数列； …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，即
，

∴

令

则

两式相减得

∴
，∴
…12分

18. (12分)

（Ⅰ）连结
，∵四边形
是菱形，∴

又∵
，∴
是等边三角形，

∵
是
中点, ∴
，

∵
平面
,
平面
,

∴
，在平面
中

∴
平面

∴平面
平面
； …6分

（Ⅱ）设
交于点，过作
,

以点为坐标原点，分别以
所在直线为轴，轴，轴，如图所示，建立空间直角坐标系：∵四边形
是边长为的菱形，
得
,
,
，

于是

∵
是
的中点, ∴
，∵
平面
,

∴平面
的一个法向量为
设平面
的法向量

∵
,由
得
，

令
，得
，
,∴
,∴

∴二面角
的平面角的余弦值为
． …12分

19．（12分）

（Ⅰ）上半年的数据为：

其“中位数”为
，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个.下半年的数据为：

其“中位数”为
，优质品有9个，合格品有11个，次品有5个.则该企业生产一件产品的利润的分布列为：




















…5分

（Ⅱ）由题意得：

上半年

下半年





优质品









非优质品





















由于
，所以没有
的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”. …12分

20.（12分）

（Ⅰ）已知椭圆
的右焦点为
，∴

又直线
与椭圆有且仅有一个交点，∴方程组
有且仅有一个解，

即方程
有且仅有一个解

∴
，即
，又∵
，

∴
，∴椭圆
的标准方程是
； …5分

（Ⅱ）依题意知椭圆的右焦点的坐标为
，直线
的方程为
（其中为直线
在轴上的截距）设

解方程组
，得关于的一元二次方程

即

，即

∵
是方程的两个解，∴
，
，

∵
，

∴

，∵
，∴

即
，∴

即
，又
，∴
，即
，∴
，而
，∴
，解得
或
，

∴
或
…12分

21．（12分）

（Ⅰ）∵
,∵
∴
，∴
，

∴
,∴函数
在区间
上单调递增. …4分

（Ⅱ）⑴当
时，
，

由
知
，
，则
，
，

∴

∴当
时，函数
在
上无零点；

⑵当
时，
，

令
，得
，由
，知
,∴
，

∴
，∴当
时，
,∴
,

当
时，
，∴

∴函数
在区间
上为增函数，在区间