2015年4月玉林市贵港市高中毕业班联合考试数学试卷（理科）

2015.4.23

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分。

1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{Z∈Z|1＜x＜4}，则A∩B＝

(A){1} (B){2，4} (C){2，3} (D)(1，4)

2．已知复数z(1－i)＝i，则z在复平面上对应的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

3．已知等差数列{an}，满足a1＋a5＝2，a2＋a14＝12，则此数列的前10项和S10＝

(A)7 (B)14 (C)21 (D)35

4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，离心率为，则它的一个焦点到它的一条渐近线的距离为

(A)1 (B)2 (C) (D)2

5．设f (x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x＋2)＝－f (x)，当0≤x≤1时有f (x)＝2x，则f (2015)＝

(A)－1 (B)－2 (C)1 (D)

6．设、是两个非零向量，则“、夹角为钝角”是“?＜0”的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

7．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出S的值是

(A)25

(B)55

(C)72

(D)110

8．若函数f (x)＝sinωx－cosωx(x∈R，ω＞0)，又f (α)＝2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为，则f ()的值为

(A) (B) (C)1 (D)

9．一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形，则该几何体的体积V是

(A)1 (B) (C) (D)2

10．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点，若直线l的斜率为，则?＝

(A)0 (B)－1 (C)2 (D)－3

11.已知函数f (x)＝x2＋mx＋2n的两个零点分别为x1和x2，若x1和x2分别在区间(0，1)与(1，2)内，则的取值范围是

(A)(，1) (B)[，1] (C)(－∞，)∪(1，＋∞) (D)(－∞，] ∪

12．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝x3－x＋6，若对任意的x∈(0，＋∞)，2f (x)≤g'(x)＋2恒成立，则实数a的取值范围为

(A)[－2，－] (B)[－2，＋∞) (C)(－∞，－] (D)(－∞，－2]

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．(ax＋1)8的展开式中x5的系数是56，则a＝______。

14．设向量、满足||＝1，|－|＝，?(－)＝0，则|2＋|＝______。

15．已知在平面直角坐标系xOy中，过点(1，0)的直线l与直线x－y＋1＝0垂直，且l与圆C:x2＋y2＝－2y＋3交于A、B两点，则△OAB的面积为_______.

16．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2－ab＋b2＝1，c＝1，则a－b的取值范围为__________.

三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，其前n项和Sn满足Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2n－1 (n≥3);

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn。

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB＝AD，PD⊥底面ABCD，

(Ⅰ)证明：PB⊥AC；

(Ⅱ)若PD＝BD＝2AC，求二面角A－PB－C的余弦值。

19．（本小题满分12分）

为备战冬奥会短道速滑比赛，国家体育总局从四支较强的队中选出18人组成短道速滑国家队集训队员，队员来源人数如下表：

队别

北京

黑龙江

辽宁

八一



人数

4

6

3

5



(Ⅰ)从这8名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；

(Ⅱ)若要求选出两位队员当正副队长，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ。

(20)（本小题满分12分）

已知一椭圆中心在坐标原点，左右焦点在x轴上，若其左焦点F1(－c，0)(c＞0)到圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1上任意一点距离的最小值为4，且过椭圆右焦点F2(c，0)与上顶点的直线与圆O：x2＋y2＝相切

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)若直线l:y＝－x＋m与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆与y轴相切时，求△F1AB的面积。

(21)（本小题满分12分）

已知f (x)＝－ax2＋x－ln(1＋x)，其中a＞0。

(Ⅰ)若x＝3是函数f (x)的极值点，求a的值；

(Ⅱ)求f (x)的单调区间；

(Ⅲ)若f (x)在[0，＋∞)上的最大值是0，求a的取值范围。

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时标出所选题目的题号。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D，使BC＝CD，

过点C作圆O的切线交AD于E。

(Ⅰ)求证：CE⊥AD；

(Ⅱ)若AB＝2，ED＝，求证：△ABD是等边三角形.

23．（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程(φ为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

(Ⅰ)求圆C的极坐标方程；

(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋cosθ)＝3，射线OM:θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长。

24．(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲

已知函数f (x)＝|x－1|.

(Ⅰ)解不等式f (x)＋f (x＋4)≥8

(Ⅱ)若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f (ab)＞|a|f ()

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

D

B

B

A

C

C

C

A

A

B





法二：建立如图所示的直角坐标系，设AC＝2，则O(0，0，0)，A(1，0，0)

P(0，－2，4)，B(0，2，0)，C(－1，0，0)

＝(1，2，－4)，＝(0，4，－4)，＝(－1，2，－4)

设平面PBC的法向量为＝(x，y，z)

则，即不妨取x＝－2，则＝(－2，1，1)

同理可得平面PBA的法向量为＝(2，1，1)

cos<，>＝＝＝

∴二面角A－PB－C的余弦值为…………12分

23．解：(Ⅰ)圆C的普通方程是(x－1)2＋y2＝1又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ

∴圆C的极坐标方程是ρ＝2cosθ ……………………………………………………………5分

(Ⅱ)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有，解得

设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，则有，解得

由于θ1＝θ2，∴|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2

∴线段PQ的长为2 ……………………………………………………………………………10分