新余市2015年高三“二模”统一考试数学试题卷（理科）

命题人：敖礼生 陈福星 肖连奇 审校人：刘勇刚

本试卷分为试题卷和答题卷两部分，解答写在答题卷相应的位置．

全卷共１５０分，考试时间为１２０分钟

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.

1．设集合
, 集合
, 则
为

A．
B．
C．
D．

2．在复平面内，复数
对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．

B.
C.
D.

4．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法．若输入
，则输

出的值为

A.10 B.11 C.12 D.13

5.设变量
满足
，若直线
经过该可行域，则
的最大值为

A.1 B.3 C.4 D.5

6.已知函数

，若
,则
的一个单调递增区间

可以是

7.已知半圆的直径
，
为圆心，
为半圆上不同于
的任意一点，若为半径
上的动点，则
的最小值是

Ａ．
? Ｂ.
Ｃ．
Ｄ.

8.已知正项
，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点
等于

A．
B．

C．
D．

9．已知直三棱柱
的各顶点都在球
的球面上，且
,若球
的体积为
,则这个直三棱柱的体积等于

A.
B.
C.2 D.

10．已知函数
，且
，则函数
的一个零

点是

A．
B．
C．
D．

11．椭圆的两个焦点分别是
.若上的点满足
,则椭圆的离心率e的取值范围是

A.
B.
C.
D.

12．定义在实数集上的函数
的图像是连续不断的，若对任意实数，存在实常数使得
恒成立，则称

是一个“关于函数”．有下列“关于函数”的结论：

①
是常数函数中唯一一个“关于函数”；

②“关于
函数”至少有一个零点；

③
就一个“关于函数”.

其中正确结论的个数是

A．1 B．2 C．3 D．0

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．

展开式中
项的系数490,则实数的值为 .

14.函数
且
，则函数的所有零点之和为 .

15.若在区间[1,2] 上存在实数使
成立,则的取值范围是 .

16.给出下列四个命题：

①
中，
是
成立的充要条件；

②当
时，有
；

③已知
是等差数列
的前n项和，若
，则
；

④若函数
为上的奇函数，则函数
的图象一定关于点
成中心对称．

其中所有正确命题的序号为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

已知数列
满足：
，
（
）.

（1）若
，试证明数列
为等比数列；

（2）求数列
的通项公式
及其项和Sn．

18.如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=
，∠EAC=
，AB=AC=AE.

（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP//平面EAB？请证明你的结论；

（2）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角
的余弦值.

19.设
为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，
； 当两条棱平行时，
的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，
.

（1）求概率P（
）；

（2）求
的分布列，并求其数学期望E（
）.

20.已知抛物线
的焦点为椭圆
的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线
与椭圆交于C、D（异于A，B）两点．

(1)求椭圆标准方程；

(2)求四边形
的面积的最大值；

(3)若
是椭圆上的两动点，且满
，动点满足
（其中O为坐标原点），是否存在两定点
使得
为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．

21．已知函数f(x)＝ex－e-x－2x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；

(3)已知1.414 2<<1.414 3，估计ln2的近似值(精确到0.001)．

请考生从第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时

请写清题号.

22.（本小题10分）选修4—1:几何证明选讲

如图,是☉
外一点,
是切线,为切点,割线
与☉
相交于点,
,又
=2
,为
的中点,
的延长线交☉
于点.

证明:(1)
=
；

(2)
·
=
2.

23.（本小题10分）选修4-4:参数方程选讲

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

（1）求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

（2）设为曲线
上的动点，求点到
上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.

24.（本小题10分）选修4-5:不等式选讲

设函数
的最大值为M．

（1）求实数M的值；

（2）求关于的不等式
的解集．

新余市2015年高三“二模”考试质量检测

数学 参考答案（理科）

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

B

A

B

A

D

D

D

B

A

C

A





二填空题

13.
14. 8 15.(－∞，－
) 16.（1）（3）

17．解：(1)
，

，即
，

,
是以2为首项，2为公比的等比数列. ……………………4分

（2）由(1)知
…………………5分

∴

…………………………………7分

令
，

则
，

两式相减得：
，

…………………………………11分

∴
…………………………………………12分

18．（一）解：（1）线段BC的中点就是满足条件的点P。…………………1分

证明如下：

取AB的中点F连接DP，PF，EF，则FP//AC,FP=
AC.

取AC的中点M，连接EM，EC。

AE=AC且∠EAC=
，

△EAC是正三角形。

EM⊥AC。四边形EMCD为矩形。

ED=MC=
AC=FP。又ED//AC。

ED//FP且ED=FP，即四边形EFPD是平行四边形。

DP//EF。

而EF平面EAB,DP平面EAB， DP//平面EAB。…………………5分

（2）过点B作AC的平行线
，过点C作
的垂线交
点G，连接DG。

ED//AC， ED//
。

是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱。

平面EACD⊥平面ABC,DC⊥AC， DC⊥ABC。

又
平面ABC, DC⊥
.

⊥平面DGC.
⊥DG.

∠DGC是所求二面角的平面角的余角。

设AB=AC=AE=
，则CD=

GD=

cos
=cos∠DGC=

即平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角的余弦值为
...........12分

（二）解：设AB=a，取AC中点O，BC中点F，连EO、OF。

又∠EAC=

又面ABC⊥面ACDE

即EO⊥面ACDE

建立以OF、OC、OE为空间坐标系的
轴。

………………2分

①假设存在点P，且

又面EAB的法向量

令

即

即P为BC的中点…………………………………………………5分

②设面EBD的法向量为
，面ACDE的法向量为
………7分

………………………………………………………9分

……………………………………………………………12分

19．解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8C
对相交棱。

P（
）=
…………………………………4分

（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或
，其中距离为
的共有6对， P
，

随机变量
的分布列是：

0

1





P









……………………10分

其数学期望
。…………………………12分

20．解：(1)由题设知：因为抛物线
的焦点为
，

所以椭圆中的
，又由椭圆的长轴为4，得
，

椭圆的标准方程为：
…………4分

(2) 法一直线
斜率不为零，
，代入椭圆方程得：

则有：
…………5分

（当且仅当
，即
时等号成立）

四边形
的面积的最大值为4 …………8分

法二：当直线