2015 年 高 三 测 试 卷

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

D

B

C

A

A

C

C

B

B

A

D



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13． 14．
15．13 16．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）由点
的坐标可以得到
，
，…………………2分

所以


；……6分

（Ⅱ）因为

，所以
，所以
，………8分

所以

，
，……………………11分

所以当
时，
最大，最大值是
．………………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，

其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是
．…………………………………6分

（Ⅱ）随机变量
所有可能取值有：
；………………………………………………7分

，

，

，

，……………………9分

所以随机变量
的分布列是：

0

1

2

3

















随机变量
的数学期望是

．……………………12分

19．（Ⅰ）证明：在梯形
中，因为
，
，
，所以

由余弦定理求得
，从而
即
，

又因为平面
平面
，所以
平面
，

所以
，………………………………………3分

在矩形
中，
，
，

，
，

所以
，即
，

所以
平面
；……………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）
，平面
平面
，所以
平面
，

以点
为原点，
所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则

，…………………………8分

平面
的法向量
，

设平面
的法向量
，则
，从而
，

令
则
，…………………………………………………………………………10分

所以
，…………………………………………………11分

而二面角D—GCB为钝角，

故所求二面角的余弦值为
．………………………………………………………………12分

20．解：（Ⅰ）当
垂直于
时
最小，

因为
，所以
，…………………………………2分

因为圆

的一条直径是椭圆
的长轴，所以
，

又点在椭圆
上，所以
，

所以圆
的方程为
，椭圆
的方程为
；………………………5分

（Ⅱ）椭圆
的右焦点的坐标是
，

当直线垂直于轴时，
，
，四边形
的面积
，

当直线垂直于轴时，
，
，四边形
的面积
，…………6分

当直线不垂直于坐标轴时，设的方程为

，此时直线的方程为
，

圆心
到直线的距离为：
，所以
，…………8分

将直线的方程代入椭圆
的方程得到：
，

，

所以：四边形
的面积

，

综上：四边形
的面积的取值范围是
．…………………………………………12分

21．解：（Ⅰ）

，记
………1分

（一）当
时，因为
，所以
，函数
在
上单调递增；……2分

（二）当
时，因为
，所以
，函数
在
上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分

（三）当
时，由
，解得
，

所以函数
在区间
上单调递减，

在区间
上单调递增．…………………………5分

（Ⅱ）由（1）知道当
时，函数
在区间
上单调递增，

所以
时，函数
的最大值是
，

对任意的
，都存在
使得不等式
成立，等价于对任意的
，不等式
都成立，……………………………………6分

即对任意的
，不等式
都成立，

记
，则
，

，因为
，所以
，

当
时，对任意
，
，所以
，即
在区间
上单调递增，
成立；…………………………………………………………………………9分

当
时，存在
使得当
时，
，
，
单调递减，从而
，所以
时，
不能恒成立．

综上：实数的取值范围是
．……………………………………………………………12分

22．解：
是圆的切线，且
，

由切割线定理得到
，…………………3分

，

则
，…………………………………………………………………6分

又
，四边形
为平行四边形．

，

，解得
。………………………………………………10分

23．解：（Ⅰ）圆
的参数方程可以化为：
，

所以圆
的直角坐标方程是
， ………………………………………2分

直线
的极坐标方程可以化为：
，

所以直线
的直角坐标方程为：
；…………………………………………………5分

（Ⅱ）由
，得
．………………………………………………………8分

故直线
与圆
公共点为
，该点的一个极坐标为
．………………………………10分

24．解：（Ⅰ）不等式
等价于
，两边平方得：
，

即：
，……………………………………………………………………………2分

解得
或
，所以原不等式的解集是：
或
；……………………5分

（Ⅱ）不等式
等价于
，

因为
…………………………………………………9分

所以的取值范围
。………………………………………………………………………10分