第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知全集
,集合
,
,则集合
( )　

A．
B．
C．
D.

2. 设复数
（
为虚数单位），的共轭复数为
，则
( )　

A．



B．

2

C．



D．1





3. 在正项等比数列
中，
，前项和为
,且
成等差数列，则
的值为( )　

A. 125 B. 126 C. 127 D. 128

4. 已知函数
，为了得到函数
的图象，只需要将
的图象( )　

A. 向右平移
个单位长度 B. 向左平移
个单位长度

C. 向右平移
个单位长度 D. 向左平移
个单位长度

5. 已知＝(
, 1)，若将向量－2绕坐标原点逆时针旋转120o得到向量
，则
的坐标为：

A．(0, 4)　　　 B．(2
, －2)　　　 C．(－2
, 2)　　　D．(2, －2
)

6. 如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为( )　

A．



B．



C．



D．









7.已知离心率为的双曲线和离心率为
的椭圆有相同的焦点
是两曲线的一个公共点，若
，则等于( )　

A．
B．
C．
D．3

8. 已知△ABC的三内角A, B, C所对边的长依次为a,b,c，M为该三角形所在平面内的一点，若a
＋b
＋c
＝
，则M是△ABC的

A．内心　　　 B．重心　　　 C．垂心　　　　 D．外心

9. 已知变量
满足约束条件
若
恒成立，则实数的取值范围为( )　

A. (-∞,-1] B. [-1,+∞) C. [-1,1] D. [-1,1)

10.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是( )　

A.
B.100
C.92
D.84

11.已知函数
(
)定义域为
,则
的图像不可能是( )　

A. B. C. D.

12.设
，若函数
为单调递增函数，且对任意实数x，都有
（是自然对数的底数），则
( )　

A. B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13. 若
，则
的最大值为　　　　.

14. 设为实数,函数
的导函数为
,且
是偶函数，则曲线
在点
处的切线方程为　　　　.

15. 已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
⊥平面
，
，则球
的表面积为　　　　.

16. 已知
是函数
的两个零点，，则
的取值范围是　　　　.

三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）设各项均为正数的数列
的前项和为
,满足
,且
恰好是等比数列
的前三项.

(1) 求数列
、
的通项公式；

(2) 记数列
的前项和为
，若对任意的
恒成立,求实数
的取值范围.

18. (本题满分12分）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):

“厨余垃圾”箱

“可回收物”箱

“其他垃圾”箱



厨余垃圾

400

100

100



可回收物

30

240

30



其他垃圾

20

20

60



(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为
,其中
,
.当数据
的方差
最大时,写出
的值(结论不要求证明),并求此时
的值.(注:方差
,其中
为
的平均数)

19.（本小题满分12分）如图,四棱锥
,侧面
是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面
是
的菱形,
为
的中点.

(1) 求证:
； (2) 求点到平面
的距离.

20.（本小题满分12分）已知点E(m,0)为抛物线
内的一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点

（1）若m = 1，k1k2 = -1，求三角形EMN面积的最小值；

（2）若k1 + k2 = 1，求证：直线MN过定点.

（本小题满分12分）已知函数

（1）若
，求
的单调区间；

（2）若
由两个极值点
，记过点
的直线的斜率
，问是否存在，使
，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。

22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B和两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.

(1)求证:AD∥EC;

(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.

23.（本题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中,直线
的参数方程为
(为参数),直线
与曲线
交于
两点

(1)求
的长；

(2)在以
为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点的极坐标为
,求点到线段
中点
的距离.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（1）若
，求不等式
的解集；

（2）若方程
有三个不同的解，求的取值范围．

数学参考答案

一、选择题

1. C 2.A 3C 4.D 5.B 6.A 7.C 8.A 9. C 10.B 11.D 12.C

二、填空题

(2)Tn=
=
=
,7分∴(
+
)k≥3n-6对n∈N*恒成立,

∴k≥
对n∈N*恒成立,9分

令cn=
,cn-cn-1=
-
=
,10分当n≤3时,cn>cn-1,当n≥4时,cn

∴(cn)max=c3=
,k≥
.12分

18、解: (1)厨余垃圾投放正确的概率约为

=

(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件
表示生活垃圾投放正确.

事件
的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P(
),约为
.所以P(A)约为1-0.7=0,3.

(3)当
,
时,
取得最大值.因为
,

所以
.

19. 【解】3、【解析】(Ⅰ)方法一:取
中点
,连结
,依题意可知△
,△
均为正三角形,

所以
,
,又
,
平面
,
平面
,

所以
平面
,又
平面
,所以
.

方法二:连结
,依题意可知△
,△
均为正三角形,

又
为
的中点,所以
,
,

又
,
平面
,
平面
,

所以
平面
,

又
平面
,所以
. (Ⅱ)当点
为棱
的中点时,
四点共面,证明如下: 取棱
的中点
,连结
,
,又
为
的中点,所以
,

在菱形
中
,所以
,所以
四点共面. (Ⅲ)点到平面
的距离即点到平面
的距离,

由(Ⅰ)可知
,又平面
平面
,平面
平面

,

平面
,所以
平面
,即
为三棱锥
的体高.

在
中,
,
,

在
中,
,
,边
上的高

,

所以
的面积
,

设点到平面
的距离为
,由
得
,又
,所以
, 解得
,

所以点到平面
的距离为
.………………12分

20、解析：（Ⅰ）当
时，E为抛物线
的焦点，

∵
，∴AB⊥CD

设AB方程为
，

由
，得
，

AB中点
，∴
，

同理，点
……2分

∴
……4分

当且仅当
，即
时，△EMN的面积取最小值4． …6分

（Ⅱ）证明：设AB方程为
，

由
，得
，

AB中点
，∴
，

同理，点
……8分

∴
…10分

∴MN：
，即

∴直线MN恒过定点
． …12分

21. 解：（Ⅰ）
的定义域为
，

当
时，

当
或
，时，
，........................2分

当
时，
..........

的单调递增区间为
，单调递减区间为
..........4分

（Ⅱ）

令
，则
，

当
，即