2015年温州市高三第二次适应性测试数学（文科）试题 2015.4

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

参考公式：

柱体的体积公式：
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高

锥体的体积公式：
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高

台体的体积公式：
其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高

球的表面积公式：
球的体积公式：
其中表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

2．要得到函数
的图像，只需将函数
的图象（ ▲ ）

A．向右平移
个单位 B．向左平移
个单位

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

3．命题“任意的
，都有
成立”的否定是（ ▲ ）

A．任意的
，都有
成立 B．任意的
，都有
成立

C．存在
，使得
成立 D．存在
，使得
成立

4．若实数
满足不等式组
，则
的最小值等于（ ▲ ）

A． B． C．
D．

5．若某几何体的三视图（单位：
）如图所示，则此几何体的体积是（ ▲ ）

A．

B．

　

C．

D．

6．已知双曲线
的渐近线与圆
相交，

则该双曲线的离心率的取值范围是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知
，则方程
的根的个数是（ ▲ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

8．在
中，
，，分别为
的重心和外心，且
，则
的形状是（ ▲ ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分．

9．集合
，若
,则
　▲　；
　▲　；
　▲　．

10．设两直线
与
，若
，则
　▲　；若
，则
　▲　．

11．设等差数列
的前项和为
，若
，则数列
的公差
　▲　；

　▲　．

已知
为正六边形，若向量
，则
　▲　；
　▲　

（用坐标表示）．

13．若椭圆
经过点
，且椭圆的长轴长是焦距的两倍，则

　▲　．

14．若实数
满足
，则
的范围是　▲　．

15．如图所示的一块长方体木料中，已知
，设

为线段
上一点，则该长方体中经过点
的截面面积的最小值为　▲　．

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题15分）已知函数
．

（I）求函数
的最小正周期；

（II）求函数
在
上的值域．

17．（本题15分）已知数列
满足
，且
．

（I）设
，求证
是等比数列；

（II）求数列
的前项和
.

18．（本小题15分）如图所示，在三棱锥
中，
，平面
⊥平面
，
．

（I）求证：
平面
；

（II）求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．（本小题15分）如图所示，抛物线
与直线
相切于点．

（I）求
满足的关系式，并用表示点的坐标；

（II）设是抛物线的焦点，若以为直角顶角的
的面积等于
，求抛物线的标准方程．

20．（本小题14分）已知函数
．

（I）若
在区间
上不单调，求的取值范围；

（II）若对于任意的
，存在
，使得
，求的取值范围．

2015年温州市高三第二次适应性测试

数学（文科）试题参考答案 2015.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

D

D

D

C

C

B



二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分．

9．
10.
11.

12.
13.2 14.
15.

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本题满分15分）解：（I）
…………………3分

……………………………5分

故函数
的最小正周期为； ……………………………7分

（II）设

，当
时
…………………………9分

又函数
在
上为增函数，在
上为减函数，……………………11分

则当
时
有最小值
；当
时
有最大值，…………………13分

故
在
上的值域为
……………………………15分

17．（本题满分15分）解：（I）由已知得
， ………………3分

则
， ………………………5分

又
，则
是以4为首项、2为公比的等比数列 ………………………7分

（II）由（I）得
， ………………………9分

则
………………………10分

………………………15分

18．（本题满分15分）解：（I）过做
⊥
于
……2分

平面
⊥平面
，平面

平面

⊥平面
……4分

⊥

又
⊥

平面
……7分

（II）解法1：
⊥平面
连结

则
为求直线
与平面
所成角……11分

又

又

……15分

直线
与平面
所成角的正弦值等于
.

解法2：设直线
与平面
所成角为
，到平面
的距离为

，
…………………9分

平面


……12分

又

……15分

19．（本题满分15分）解：（I）联立方程组
消元得：
①…2分

相切
得：
② ……4分

将②代入①式得：
解得

……………………………………………………6分

（II）

……………………………………7分

直线
的方程为
………………………………9分

由
即
……………………………11分

……13分

解得

抛物线
的标准方程为
………………………………………………15分

20．（本题满分14分）（I）解：
…………………………4分

（II）解法1：

（i）当
时，即
时，

，

所以
…………………………………………………………………8分

（ii）当
时，即
时，

，

，
，……………………………12分

综上，
，

故
，所以
……………………………………………………………14分

解法2：

……………………………………………………8分

……………………………………………………………………12分

等号当且仅当
或时成立，

又
，所以
………………………………………14分

解法3：
………………………8分

，
…………………………………12分

且上述两个不等式的等号均为
或时取到，故

故
，所以
…………………………………………………………14分