2015年高考文科数学最后一模(全国新课标II卷)

说明：

一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

（1）已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B＝

（A）{x|2≤x≤3} （B）{x|2≤x＜3}

（C）{x|2＜x≤3} （D）{x|－1＜x＜3}

（2）＋＝

（A）－1 （B）1 （C）－i （D）i

（3）a、b是两个单位向量，且(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为

（A）30( （B）60( （C）120( （D）150(

（4）等比数列
的前
成等差数列，若a1=1，则S4为

（A）15 （B）8 （C）7 （D）16

（5）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：(x∈R，|x＋1|≤x，则

（A）(p∨q为真命题 （B）p∨q为真命题

（C）p∧q为真命题 （D）p∧(q为假命题

（6）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面 积为

（A）8＋2 （B）6＋2

（C）8＋2 （D）6＋2

（7）执行右边的程序框图，则输出的S是

（A）5040 （B）4850

（C）2450 （D）2550

（8）偶函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为奇函数，且f(1)＝1， 则f(9)＋f(10)＝(　　)

（A）－2 （B）－1 （C）0 （D）1

（9）将函数f(x)＝sinωx（其中ω＞0）的图象向左平移个单位长度，所得图象关于x＝对称，则ω的最小值是

（A）6 （B） （C） （D）

（10）过双曲线－＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为

（A） （B）2 （C） （D）

（11）直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋lnx交于A，B，则|AB|的最小值为

（A）3 （B）2 （C） （D）

（12）给出下列命题:


; 函数
有3个零点;

函数
的图像以原点为对称中心;

已知a、b、m、n、x、y均为正数，且a≠b，若a、m、b、x成等差数列，a、n、b、y成等比数列，则有m> n，x< y．

其中正确命题的个数是

（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

（13）某城区有大学生3500人、中学生4000人，小学生4500人，为掌握各类学生的消费情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为300的样本，应抽取中学生 人.

（14） 若x，y∈R，且则z=x＋2y的最小值等于__________.

（15）数列{an}的通项公式an＝nsin＋1，前n项和为Sn，则S2 015＝__________.

（16）已知圆O: x2＋y2=8，点A(2，0) ，动点M在圆上，则∠OMA的最大值为__________．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知f(x)=

（Ⅰ）写出f(x)图像的对称中心的坐标和单增区间；

（Ⅱ）△ABC三个内角A、B、C所对的边为a、b、c，若f（A）=0，b＋c=2．求a的最小值．

（18）（本小题满分12分）

某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人．

（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？

（Ⅱ）4名成员随机分两组每组2人，一组负责收集成绩，另一组负责数据处理，求学生甲分到负责收集成绩组且学生乙分到负责数据处理组的概率．

附：

K2＝

P(K2≥k0)

0.010

0.005

0.001





k0

6.635

7.879

10.828





（19）（本小题满分12分）

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，点F在棱PD上，且FD＝PD．

（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；

（Ⅱ）求三棱锥F-ADC与四棱锥P-ABCD的体积比．

（20）（本小题满分12分）

设抛物线y2=4mx（m >0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1 、F2为焦点，离心率e=的椭圆与抛物线的一个交点为
；自F1引直线交抛物线于P、Q两个不同的点，点P关于x轴的对称点记为M，设
．

（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：
．

（21）（本小题满分12分）

已知f(x)＝x2－a2lnx，a＞0．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小值；

（Ⅱ）当x＞2a，证明：＞a．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，∠C＝90o，BC＝8，AB＝10，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边、AB边分别交于点D、E，连结DE．

（Ⅰ）若BD＝6，求线段DE的长；

（Ⅱ）过点E作半圆O的切线，切线与AC相交于点F，证明：AF＝EF．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知椭圆C：＋＝1，直线l：（t为参数）．

（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；

（Ⅱ）设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－1|．

（Ⅰ）解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；

（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f()．

文科数学参考答案

一、选择题：

CACAB ACDBA DB

二、填空题：

（13）100； （14）3； （15）1007； （16）
．

三、解答题：

（17）解：（Ⅰ）化简得：f（x）=cos（2x＋
） ……………3分

对称中心为：

单增区间为：
………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

于是：
………………………9分

根据余弦定理：
=

当且仅当
时，a取最小值1． ………………………12分

（18）解：（Ⅰ）由题意可得列联表：

物理优秀

物理不优秀

总计



数学优秀

60

140

160



数学不优秀

100

500

640



总计

200

600

800



因为k＝＝16.667＞10.828． …………6分

所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．

（Ⅱ）设其他学生为丙和丁，4人分组的情况如下表

小组

1

2

3

4

5

6



收集成绩

甲乙

甲丙

甲丁

乙丙

乙丁

丙丁



数据处理

丙丁

乙丁

乙丙

甲丁

甲丙

甲乙



分组的情况总共有6种，学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理占2种，所以学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率是P＝＝． …………12分

（19）解：

连结BD，设BD∩AC＝O，易知O为DB的中点．

又E为PD的中点，

所以在△PDB中，OE为其一条中位线，

所以PB∥OE．

又OE(平面EAC，PB平面EAC，

故PB∥平面EAC． ……………………6分

（Ⅱ）因为FD＝PD，

所以点F到平面ACD（也是平面ABCD）的距离

与点P到平面ABCD的距离比为1∶3，

又易知△ACD的面积等于四边形ABCD面积的一半，

所以三棱锥F-ADC与四棱锥P-ABCD的体积比为1∶6． ………12分

（20）解：

（Ⅰ）由题设，得：
①

＝ ②

由①、②解得a2＝4，b2＝3，

椭圆的方程为
…………………………4分

易得抛物线的方程是：y2＝4x． …………………………6分

（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2) 、M(x1，－y1) ，

由
得：x1＋1=λ(x2＋1)， 于是有


欲证：
，只需证：


由知：只需证明：

化简为：x1x2=1 …………………………9分

设直线PQ的方程为y＝k(x＋1)，与抛物线的方程联立，得：

…………………………10分

根据韦达定理：x1＋x2=
x1x2=1

根据以上步骤可知：
成立． …………………………12分

（21）解：

（Ⅰ）f((x)＝x－＝． …………………1分

当x∈(0，a)时，f((x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(a，＋∞)时，f((x)＞0，f(x)单调递增．

当x＝a时，f(x)取得极小值也是最小值f(a)＝a2－a2lna． ………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(2a，＋∞)单调递增，

则所证不等式等价于f(x)－f(2a)－a(x－2a)＞0． …………………7分

设g(x)＝f(x)－f(2a)－a(x－2a)，

则当x＞2a时，

g((x)＝f((x)－a＝x－－a＝＞0， …………………9分

所以g(x)在[2a，＋∞)上单调递增，

当x＞2a时，g(x)＞g(2a)＝0，即f(x)－f(2a)－a(x－2a)＞0，

故＞a． …………………12分

（22）解：（Ⅰ）

∵BD是直径，∴∠DEB＝90o，

∴＝＝，∵BD＝6，∴BE＝，

在Rt△BDE中，DE＝＝． …………………5分



（Ⅱ）连结OE，∵EF为切线，∴∠OEF＝90o，

∴∠AEF＋∠OEB＝90o，

又∵∠C＝90o，∴∠A＋∠B＝90o，又∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，

∴∠AEF＝∠A，∴AE＝EF． …………10分

（23）解：

（Ⅰ）C：（θ为参数），l：x－y＋9＝0． ……………4分

（Ⅱ）设P(2cosθ，sinθ),

则|AP|＝＝2－cosθ，

P到直线l的距离d＝＝．

由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝，cosθ＝－．

故P(－，)． ……………10分

（24）解：

（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝

当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；

当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；

当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3． …………4分

所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}． …………5分

（Ⅱ）f(ab)＞|a|f()即|ab－1|＞|a－b|． …………6分

因为|a|＜1，|b|＜1，

所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，

所以|ab－1|＞|a－b|．

故所证不等式成立． …………10分