2015天津高考压轴卷 数学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷（选择题共50分）

参考公式：

球的表面积公式：
，其中是球的半径．

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率：
．

如果事件
互斥，那么
．

如果事件
相互独立，那么
．

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

（1）若
，且
，则角是（ ）

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角（2）由直线
，x=2，曲线
及x轴所围图形的面积是（ ）

A.
B.
C.
D.

（3）若向量a、b满足a +b =（2，-1），a =（1，2），则向量a与b的夹角等于 （ ）A .
B.
C.
D.
（4）设平面α⊥平面β，直线aα，直线bβ，且a⊥b，则

A、a⊥β B、b⊥α

C、a⊥β与b⊥α中至少有一个成立 D、a⊥β与b⊥α同时成立

（5）下面的程序框图表示算法的运行结果是

A. -3 B. -21

C. 3 D. 21

（6） “
”是“直线
与直线
平行”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

(7) 已知
恒成立,则a的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

（8）已知实数
满足
，则下列不等式中恒成立的是 （ ）A .
B.
C.
D.
（9）已知
是偶函数，则函数
的图象的对称轴是

A.
B.
C.
D.

(10）定义在R上的偶函数
满足
且在
上是减函数，
是锐角三角形的两个内角，则（ ）

A.
B.

C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

注意事项：

1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上

3．本卷共12小题，共100分。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）

（11）在复平面内，复数
（
）对应的点位于虚轴上，则
. （12）在
（
）的展开式中，所有项的系数之和为
，则其展开式中
的系数是__________.（用数字作答）（13）在极坐标系中，设曲线
和
相交于点、，则
＝ .

（14）已知
是数列
的前项和，若
，则
关于的表达式为
. （15）已知圆：
，点是抛物线
：
上的动点，过点作圆的两条切线，则两切线夹角的最大值为 . （16）下列三个命题：

①若函数
的图象关于y轴对称，则
；

②若函数
的图象关于点（1，1）对称，则a=1；

③函数
的图象关于直线x=1对称。

其中真命题的序号是 。（把真命题的序号都填上）

三、解答题（本题共6道大题，满分76分）

（17）、（本题满分12分）

在
中，角
的对边分别为、
、，已知
。

（1）求sinA；

（2）若c=5,求
的面积。

（18）、(本小题满分12分)

3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作.

（Ⅰ）若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；

（Ⅱ）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记
表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量
的分布列.

（19）、 (本小题满分12分)

已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°,AB=2PA,E是线段BC的中点.

(1) 求证：PE⊥AD;

(2) 求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值

(3) 在线段PD上是否存在一点F,使得CF∥平面PAE,并给出证明.

（20）、(本小题满分12分)

若
，
（
、
）.

(1) 求
的值；

（2）求证：数列
各项均为奇数.

（21）、（本小题满分14分）

已知函数f(x)=ln2x+1-mx(m∈R).

(1) 求函数f(x)=ln2x+1-mx(m∈R)的单调区间；

(2) 若函数2f(x)≤m+1恒成立，求m的取值范围；

（22）、（本小题满分14分）

已知椭圆
（
）的左、右焦点分别为
、
，短轴两个端点为、，且四边形
是边长为2的正方形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若
、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点
满足
，连结
，交椭圆于点.证明：
为定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问轴上是否存在异于点
的定点Q，使得以
为直径的圆恒过直线
的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

2015天津高考压轴卷

数学（理工类） 参考答案

一、选择题

1C 2B 3D 4C 5 A 6C 7D 8D 9A 10A

二、填空题

11.0 12.15 13.
14.
15.
16. ②③

三、解答题

17、因为＝，所以b＝a．

因为cosB＝，所以cosB＝＝． …………………………………4分

所以a2＋c2－a2＝ac．即c2－ac－a2＝0．所以c＝a．

所以b＝c．即B＝C． ……………………………………………………………8分

所以sinA＝sin[(－(B＋C)]＝sin2B＝2sinBcosB＝． …………………………10分

当c＝5时，则b＝5，所以S△ABC＝bcsinA＝10． ………………………………12分

18、解：（Ⅰ）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有
种不同的结果，这些结果出现可能性都相等.………………………………………………………………………1分

设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件，

则该事件共包括
种不同的结果. ………………………………………………3分

所以
. ……………………………………………………………5分

答：3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为
. …………………6分

（Ⅱ）解法1：随机变量
的可能取值为0，1，2，3. …………………………………7分

，
，

，
. ………………11分

随机变量
的分布列为：

0

1

2

3















 …………………………………………………12分

解法2：每名志愿者在10月1日参加社区服务的概率均为
.

……………………………………………………7分

则三名志愿者在10月1日参加社区服务的人数
.

，
. …………………………………………………11分

随机变量
的分布列为：

0

1

2

3















…………………………………………………12分

19. 解：∵四边形ABCD是∠ABC=60°的菱形，E为边BC的中点，

∴AE⊥BC,∴AE⊥AD,又PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AE,PA⊥AD,以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系如图，设AB=2，

则B(3,-1,0),E(3,0,0),C(3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1) …………………………….1分

(1) PE=(3,0,-1)AD=(0,2,0) …………………………………………………2分

PE·AD=0……………………………………………………………………3分

∴PE⊥AD……………………………………………………………………4分

(2) 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0),则n⊥PC,n⊥PD,

∵PC=(3,1,-1),PD=(0,2,-1),

∴(x0,y0,z0)·(3,1,-1)=3x0+y0-z0=0,(x0,y0,z0)·(0,2,-1)=2y0-z0=0,

令x0=1，则y0=3，z0=23,得平面PCD的一个法向量为n=(1,3,23),

又AD⊥平面PAE,则AD=(0,2,0)是面PAE的一个法向量，设平面PAE与平面PCD所成角为α，

则cosα=|cos〈n,AD〉|=|n·AD||n|·|AD|=34………………………………………………8分

(3) 假设线段PD存在一点F，使直线CF∥平面PAE，则CF⊥面PAD∴CF⊥AD，

设PF=λPD=(0,2λ,-λ)(0≤λ≤1)，则CF=PF-PC=(-3,2λ-1,-λ+1)，

则CF·AD=(-3,2λ-1,-λ+1)·(0,2,0)=4λ-2=0，

解得，λ=12，所以，当F为线段PD的中点时，直线CF∥平面PAE……12分

20、解：（1）当
时，

故
，
，所以
.

（2）证：由数学归纳法

（i）当
时，易知
，为奇数；

（ii）假设当
时，
，其中
为奇数；

则当
时，

所以
，又
、
，所以
是偶数，

而由归纳假设知
是奇数，故
也是奇数.

综上（i）、（ii）可知，
的值一定是奇数.

证法二：因为

当为奇数时，

则当
时，
是奇数；当
时，

因为其中
中必能被2整除，所以为偶数，

于是，
必为奇数；

当为偶数时，

其中
均能被2整除，于是
必为奇数.

综上可知，
各项均为奇数.

21、解：(1) f(x)=12ln(2x+1)-mx,x>-12,∴f′(x)=11+2x-m,

∵2x+1>0,∴当m≤0时,f′(x)>0, ……………………………………………………………2分

当m>0时，f′(x)=0，解得x=1-m2m=12m-12>-12，

列表

x-12,1-m2m1-m2m1-m2m,+∞f′(x)+0-f(x)Z极大值J

综上所述：

当m≤0时，f(x)的增区间是-12,+∞，

当m>0时，f(x)的增区间是-12,1-m2m，减区间是1-m2m,+∞；…………………………6分

(2) 若函数2f(x)≤m+1恒成立，只需f(x)的最大值小于等于m+12，

当m≤0时，f(x)=12ln(2x+1)-mx的值趋向于无穷大，故不成立，……………………10分

当m>0时，由(1)知f(x)有唯一的极值且是极大值，

所以，当x=1-m2m时，f(x)的函数值最大，……………………………………………12分

所以，2f1-m2m=ln1m-(1-m)≤m+1，解得，m≥1e2，

故函数2f(x)≤m+1恒成立时，m的取值范围是1e2,+∞；……………………………14分

22、解：（Ⅰ）如图，由题意得，
.

，
.

所求的椭圆方程为
. ………………………………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（
，0），（2，0）. ……………………………………4分

由题意可设
：
，（
，
）.

，
（2，
）. ……………………………………………………5分

由
整理得:

.

，

得
. ……………7分

，

. …………………………………………………………………8分

. …………………………9分

（Ⅲ）设
，则
.

若以
为直径的圆恒过
，
的交点，则
，
恒成立.

…………………………………………………………………10分

由（Ⅱ）可知
，

. …………………………………………………………12分

.即
恒成立.

.

存在
使得以
为直径的圆恒过直线
，
的交点. …………14分