2015四川省高考压轴卷数 学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知
是虚数单位，则
=

A．
B．
C．
D．

2．下列四个结论：①若
，则
恒成立；

　　②命题“若
”的逆命题为“若
”；

　　③“命题
为真”是“命题
为真”的充分不必要条件；

　　④命题“
”的否定是“
”．

　　其中正确结论的个数是

　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3.执行右图所示的程序框图，则输出的值为

A、
B、
C、
D、

4．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是

A．
B．

C．
D．

5．对于函数
，下列说法正确的是 A．
是奇函数且在（
）上递增 B．
是奇函数且在（
）上递减

C．
是偶函数且在（
）上递增 D．
是偶函数且在（
）上递减

6．定义：在数列
中，若满足
（
，d 为常数），称
为“等差 比数列”。已知在“等差比数列”
中，
则

A．
B．
C．
D．

7．已知
，则方程
的根的个数是

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

8．在
中，内角
的对边分别为
且
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

9．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有

A．80 种 B．70 种 C．40 种 D．10种

10．已知双曲线
的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若线段FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知集合
，
，则
_____________.

12.若函数
，则
＝　　　　　

13
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．

14．过点
作圆
的弦，

其中弦长为整数的共有 条。

15．已知两个正数
，可按规律
推广为一个新数，在
三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作。若
，经过五次操作后扩充得到的数为
为正整数），则

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16、（本小题满分12分）在
中，
分别为角
的对边，设
，

(1)若
，且
，求角
的大小；

（2）若
，求角
的取值范围。

17. (本题满分12分)已知等差数列
的前n项和为
，
.

(1)求数列
的通项公式；

(2)求数列
的前n项和.

18．(本题满分12分)如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.

(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角
的正弦值；

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE?证明你的结论．

19．（12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为
，
，
，且各轮考核通过与否相互独立。（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为
，求
的分布列和数学期望。

20、(本小题13分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点
。

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）与圆
相切的直线
交抛物线于不同的两点
若抛物线上一点
满足
，求
的取值范围.

21（14分）设函数

，曲线
过点
，且在点
处的切线方程为
。

（1）求，
的值；（3分）

（2）证明：当
时，
；（5分）

（3）若当
时，
恒成立，求实数的取值范围。（6分）

数学参考答案及评分意见（理工类）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

1、【答案】B

解析：因为
，所以选B.

2、【答案】C

解析：对于①，令y=x﹣sinx，则y′=1﹣cosx≥0，则有函数y=x﹣sinx在R上递增，则当x＞0时，x﹣sinx＞0﹣0=0，则x＞sinx恒成立．则①对；对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”，则②对；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；

对于④，命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．则④对．

综上可得，其中正确的叙述共有3个．故选C．

3、【答案】B

解析：由程序框图的流程可知
时，
；

；
；
，然后得到

，满足题意，输出结果。

4、【答案】A

解析：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，s1＝6×2×2?π×12＝24?π，s2＝
×4π×12＝2π，故s=s1+s2=π+24,故选A．

5、【答案】D

解析：
=x3cos（3x+
）=﹣x3sin3x

由于f（﹣x）=﹣x3sin3x=f（x），可知此函数是偶函数，又x3与sin3x在（
）上递增，可得f（x）=﹣x3sin3x在（
）上递减，对照四个选项，D正确,故选D.

6、【答案】C

解析：由题意可知：
．

∴数列{
}为以1为首项以2为公差的等差数列．

∴
．n∈N*

所以

，故选C.

7、【答案】C

【解析】由
，设f(A)=2,则f(x)=A,则
，则A=4或A=
，作出f(x)的图像，由数型结合，当A=
时3个根，A=4时有两个交点，所以
的根的个数是5个。

8、【答案】A

解析：由
得
,又A为三角形内角，所以A=120°,则
，所以选A.

9、【答案】C

解析：Grace不参与该项任务，则有
=30种；Grace参与该项任务，则有
=10种，故共有30+10=40种,故选：C．

10、【答案】C

解析：由题意可知，一渐近线方程为y=
x，则F2H的方程为 y﹣0=k（x﹣c），代入渐近线方程 y=
x，可得H的坐标为（
，
），故F2H的中点M（
，
），根据中点M在双曲线C上，∴
=1，∴
=2，故e=
=
，

故选：C．

11、【答案】

解析：由题意得
，所以
，故答案为
。

12、【答案】

解析：因为
，所以
，则令

可得
，所以
，则
，而
，则

，即
，故答案为
。

13、【答案】40

解析：令
则有
，得
，所以二项式为
所以其常数项为
所以答案为40.

14、【答案】32

解析：由题意可知过点
的最短的弦长为10，最长的弦长为26,所以共有弦长为整数有2+2×(26－10－1)=32.

15、【答案】13

解析：因为p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1，因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）-1，所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）-1=（p+1）3（q+1）2-1，第四次可得：c4=（c3+1）（c2-1）-1=（p+1）5（q+1）3-1，故经过5次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）5-1，∴m=8，n=5，则
13.

16、解：(1)由　f(1)＝0，得a2－a2＋b2－4c2＝0，∴b＝2c

又由正弦定理，得b＝2RsinB，c＝2RsinC，将其代入上式，得sinB＝2sinC

∵B－C＝ ∴B＝＋C，将其代入上式，得sin(＋C)＝2sinC

∴sincosC＋cossinC＝2sinC，整理得，sinC＝cosC，∴tanC＝

∵角C是三角形的内角，∴C＝ ---------------6分

(2)∵　f(2)＝0，∴4a2－2a2＋2b2－4c2＝0，即a2＋b2－2c2＝0 ------7分

由余弦定理，得cosC＝＝

∴cosC＝≥＝(当且仅当a＝b时取等号) ---------------------10分

∴cosC≥，∠C是锐角，又∵余弦函数在(0，)上递减，∴0

17解答：

设
的公差为
，则由题得

则
6分

（2）由（1）得

则所求和为
6分

18．解：设正方体的棱长为1，以A为原点，直线AB、AD、AA1分别为轴、轴、轴．则A(0，0，0)，B(1，0，0)，A1(0，0，1)，B1(0，0，1)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，∵E是DD1的中点，∴E(0，1，
)，
(-1，1，
)，
(-1，0，1)．

(1)∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AD⊥平面ABB1A1，即
(0，1，0)为平面ABB1A1的一个法向量，直线BE和平面ABB1A1所成角
的正弦值为：

； 5分

(2)当点F为棱的C1D1中点时，B1F∥平面A1BE，证明如下：

由
、
的坐标可求得平面A1BE的一个法向量为
(2，1，2)，

∵点F在棱C1D1上，设
，则
(
，0，0)，

∴
(
，0，0)= (
，1，1)，

进而
= (
，1，1)-(0，0，1)= (
，1，0)．

∵B1F∥平面A1BE，∴
⊥
，即

，∴
，

故点F为棱的C1D1中点时，B1F∥平面A1BE得到证明． 7分

19、（1）
（2）
的分布列为

数学期望为
--

解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P(A)＝

所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
-------------4分

（2）
的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分

，
，

------------------9分

所以，
的分布列为

数学期望为
---------------------12分

20、 (1)
………4分

（2）由圆心
到直线
的距离

设交点
，
，由

其中

………9分

代入

得

即
………11 分

，在
都是单调递减函数
…13分

21.解：(1)
，

，

，
． 3分

(2)
，

设
，
，

，
在
上单调递增，

，
在
上单调递增，
．

． 8分

（3）设
，

，

在(2) 中知
，
，

， 11分

①当
即
时，
，
在
单调递增，
，成立．

②当
即
时，
，

，令
，得
，

当
时，
，
在
上单调递减
，不成立．

综上，
． 14分