北京市西城区2015年高三二模试卷数学（文科） 2015.5

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合
，集合
，则
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





2．已知平面向量
满足
，
，
，若
，则实数
（ ）



 （A）

（B）



 （C）

（D）





3. 设命题：函数
在上为增函数；命题：函数
为奇函数. 则

下列命题中真命题是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

4．执行如图所示的程序框图，若输入的
，

则输出的属于（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（ ）

（B） （C） （D）

6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与

x满足函数关系
，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x

为（ ）

（A） （B）

（C） （D）

7. “
”是“曲线
为双曲线”的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

8. 在长方体
中，
，点为对角线
上的动点，点
为底面
上的动点（点，
可以重合），则
的最小值为（ ）

（A）

 （B）



 （C）

 （D）





第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 复数
____.

10. 抛物线
的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的

方程是____.

11．设函数
则
____；函数
的值域是____.

12．在
中, 角，，所对的边分别为
， 若
，
，
，

则
____；
的面积为____.

13. 若
满足
若
的最大值为
，则实数
____.

14. 如图，正方形
的边长为2，为
的中点，射线
从
出发，绕着点顺时针方向旋转至
，在旋转的过程中，记
为
，
所经过的在正方形
内的区域（阴影部分）的面积
，那么对于函数
有以下三个结论：


；

 函数
在区间
上为减函数；

 任意
，都有
.

其中所有正确结论的序号是____.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的定义域；

（Ⅱ）求函数
的单调增区间.

16．（本小题满分13分）

设数列
的前n项和为
，且
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
为等差数列，且
，公差为
. 当
时，比较
与
的大小．

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，
，
平面
,
平面
，
，
，
.

（Ⅰ）求棱锥
的体积；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点,使
平面
？若存在,求出
的值；若不存在，说明理由.

18．（本小题满分13分）

某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．

（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；

（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a>b的概率；

（Ⅲ）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为
，根据茎叶图推断b为何值时，
达到最小值．（只需写出结论）

（注：方差
，其中
为
，
，…，

的平均数）

19．（本小题满分14分）

设
，
分别为椭圆
的左、右焦点，点为椭圆的左顶点，点为椭圆的上顶点，且
.

（Ⅰ）若椭圆的离心率为
，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为椭圆上一点，且在第一象限内，直线
与轴相交于点
. 若以
为直径的圆经过点
，证明：点在直线
上.

20．（本小题满分13分）

已知函数
，其中
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的图象在点
处的切线方程；

（Ⅱ）当
时，证明：存在实数
，使得对任意的，都有
成立；

（Ⅲ）当
时，是否存在实数，使得关于的方程
仅有负实数解？当
时的情形又如何？(只需写出结论)

北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准

高三数学（文科） 2015.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．D 3．D 4．A

5．C 6．B 7．A 8．C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10．

11．

12．

13．2 14． 

注：第10，11题第一问2分，第二问3分. 第14题多选、漏选或错选均不得分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由题意，得
， ……………… 1分

即
， ……………… 2分

解得
， ……………… 4分

所以函数
的定义域为
. ……………… 5分

（Ⅱ）解：

……………… 7分

， ……………… 9分

由
，

得
， ……………… 11分

又因为
，

所以函数
的单增区间是
，
.（或写成
）

……………… 13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为
， 

所以当
时，
， 

由 两式相减，得
，

即

， ………………3分

因为当
时，
，

所以
， ………………4分

所以
． ………………5分

所以数列
是首项为1，公比为2的等比数列，

所以
． ………………7分

（Ⅱ）解：因为
， ………………9分

所以
，
， ………………11分

因为
， ………………12分

由
，得
，

所以当
时，
. ………………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：在
中，
. ………………1分

因为
平面
，

所以棱锥
的体积为
.

………………4分

（Ⅱ）证明：因为
平面
，
平面
，

所以
. ………………5分

又因为
，
,

所以
平面
. ………………7分

又因为
平面
，

所以平面
平面
. …………………8分

（Ⅲ）结论：在线段
上存在一点,且
，使
平面
.…………………9分

解：设为线段
上一点, 且
， ………………10分

过点作
交
于
，则
.

因为
平面
,
平面
，

所以
.

又因为

所以
，
,

所以四边形
是平行四边形，

则
. ………………12分

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………14分

18．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：根据茎