北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学 （文科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

（1）已知全集
，集合
，
，如图阴影部分所表示的集合为

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）若复数
为纯虚数，则实数的值为

（A）
（B）

（C） （D）

（3）已知圆的方程为
，那么圆心坐标为

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）设点
,则“
且
”是“点在直线
上”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（5）设
，
，
,则，
，的大小关系是C

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）若实数，满足不等式组
则
的最大值为

（A） （B）

（C） （D）

（8）已知正方体
的棱长为,，分别是边
，
的中点,点
是
上的动点,过点，
，的平面与棱
交于点,设
,平行四边形
的面积为,设
,则关于的函数
的解析式为

（A）
，

（B）

（C）

（D）
，

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知抛物线
上一点
，则
，点到抛物线的焦点的距离为 .

（10）在△
中，已知
， 那么
.

（11）函数
的最大值为 .

（12）若非零向量，
满足


，则向量
与
的夹角为 .

（13）设函数
，
的两个的零点为
，
，且方程
有两个不同的实根
，
．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数
．

（14）如图,△
是边长为的正三角形,以为圆心,
为半径，沿逆时针方向画圆弧，交
延长线于
，记弧
的长为
；以为圆心，
为半径，沿逆时针方向画圆弧，交
延长线于
，记弧
的长为
；以
为圆心，
为半径，沿逆时针方向画圆弧，交
延长线于
，记弧
的长为
，则
.

如此继续以为圆心，
为半径，沿逆时针方向画圆弧，交
延长线于
，记弧
的长为
，
，当弧长
时，
.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：

甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心

角均为
，边界忽略不计)即为中奖．

乙商场：从装有
个白球和
个红球的盒子中一次性摸出球(这些球除颜色外

完全相同)，如果摸到的是个红球，即为中奖．

试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.

（16）（本小题共13分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）若
，且
，求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的最大值.

（17）（本小题共13分）

如图，在四棱锥
中,平面
平面
，为
上一点，四边形
为矩形，

，
,
.

（Ⅰ）若
，且
∥平面
,求
的值；

（Ⅱ）求证：
平面
.

（18）（本小题共13分）

已知等比数列
的前项和
，且
成等差数列．

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）设
是首项为，公差为
的等差数列，其前项和为
，求满足
的最大正整数．

（19）（本小题共14分）

已知椭圆
上的左、右顶点分别为，，
为左焦点，且
，又椭圆
过点
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）点和
分别在椭圆
和圆
上（点
除外），设直线
,
的斜率分别为
,
，若
，证明：, ,
三点共线．

（20）（本小题共14分）

已知函数
,
，（，
为常数）．

（Ⅰ）若
在
处的切线过点
，求
的值；

（Ⅱ）设函数
的导函数为
，若关于的方程
有唯一解，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）令
，若函数
存在极值，且所有极值之和大于
，求实数的取值范围．

北京市东城区2014-2015学年第二学期综合练习（二）

高三数学参考答案及评分标准 （文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）C （3）C （4）A

（5）C （6）D （7）B （8）A

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）

（11）
（12）

（13）
（14）

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：设顾客去甲商场，转动圆盘，指针指向阴影部分为事件，

试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为
（为圆盘的半径)，阴影区域的面积为
.

所以，
. …………………………5分

设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件，记盒子中
个白球为
，
，
，
个红球为
，
，
，记
为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共
种.

摸到的个球都是红球有
，
，
，共
种.

所以，

. …………………………11分

因为
，

所以，顾客在乙商场中奖的可能性大． …………………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）由

得

. …………………………4分

因为
，即
，所以
.

又因为
，所以
.

故
，即
. …………………………7分

（Ⅱ）


.

因为
，所以
.

所以当
，即
时，
有最大值，最大值为. ………………13分

（17）（共13分）

证明：（Ⅰ）连接
交
于点
，连接
.

因为
平面
，平面
平面
，

所以
.

因为
，所以
.

因为
，所以
.

所以
. …………………………6分

（Ⅱ）因为

所以
.

所以
.

又平面
平面
，且平面
平面
,

平面
，所以
.

又
,且
,

所以
平面
. …………………………13分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）设
的公比为，因为
成等差数列，

所以
.

整理得
，即
，解得
.

又
，解得
.

所以
. …………………………5分

（