2015年 考前押题试卷（全国新课标II卷）理 科 数 学

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．设全集
，集合
，
，则图中的阴影部分表示的集合为

A．

B．



C．

D．



2．已知非零向量
、
满足
，那么向量
与向量
的夹角为

A．

B．

C．

D．



3．
的展开式中第三项的系数是

A．

B．

C．15

D．



4．圆
与直线相切于点
，则直线l的方程为

A．

B．



C．

D．



5．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是
则该单位员工总数为

A．110

B．100

C．90

D．80





6．右边程序框图的程序执行后输出的结果是

A．24

B．25

C．34

D．35



7．设椭圆
（
，
）的右焦点与抛物线
的焦点相同，离心率为
，则此椭圆的方程为

A．

B．

C．

D．



8．直线
的倾斜角是

A．40°

B．50°

C．130°

D．140°



9. 若
为等差数列
的前n项和，
，
，则
与
的等比中项为

A．

B．

C．

D．



10．已知直线
⊥平面α，直线平面β，给出下列命题：

①α∥β
l⊥m ②α⊥β
l∥m ③l∥m
α⊥β ④l⊥m
α∥β

其中正确命题的序号是

A．①②③

B．②③④

C．①③

D．②④



11. 已知函数

是
上的减函数。那么的取值范围是

A．

B．

C．

D．



12. 若存在过点
的直线与曲线
和
都相切，则等于

A．
或

B．
或

C．
或

D．
或





第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．i是虚数单位，
__________。

14．如图所示几何体的三视图，则该三视图的表面积为__________。

15．若x,y满足条件
，则
的最小值是__________。

16．给出下列四个命题：

（1）函数
的值域是
；

（2）为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上的所有点向右平移
个单位长度；

（3）当
或
时，幂函数
的图象都是一条直线；

（4）已知函数
，若a，b，c互不相等，且
，则
的取值范围是
。

其中正确结论的序号是__________。（把正确命题的序号都填上）

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和为Sn。已知
，
。

（1）设
，证明数列
是等比数列；

（2）求数列
的通项公式。

18．（本小题满分12分）

某市教育局责成基础教育处调查本市学生的身高情况，基础教育处随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：

甲班



乙班











2

18

1













9

9

1

0

17

0

3

6

8

9





8

8

3

2

16

2

5

8















8

15

9











（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;

（2）计算甲班的样本方差；

（3）现从各班最高的5名同学中各取一人，求甲班同学身高不低于乙班同学的概率。

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，

点为
中点；

（1）求二面角
的余弦值；

（2）在直线
上是否存在点
，使得
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，求出点
的位置；若不存在，说明理由。

20．（本小题满分12分）

如图，
是抛物线为
上的一点，弦SC，SD分别交x轴于A，B两点，且SA = SB。

（1）求证：直线CD的斜率为定值；

（2）延长DC交x轴于点E，若
，求
的值。

21．（本小题满分12分）

已知函数

（1）若不等式
在区间
内的解的个数；

（2）求证：
。

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22．（本小题满分10分）

选修4-1：几何证明选讲

如图，
是圆
的直径，
是弦，
的平分线
交圆
于点，
，交
的延长线于点，
交
于点。

（1）求证：
是圆
的切线；

（2）若
，求
的值。

23．（本小题满分10分）

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程为
（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为

（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）曲线C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.

24．（本小题满分10分）

选修4-5：不等式选讲

已知关于x的不等式
在
上恒成立，求实数a的最小值；

2015年 考前押题试卷

（全国新课标II卷）

理科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

B

D

B

D

B

B

C

C

A

A



二、填空题

13．

14．

15．-3

16．①④



三、解答题

17．（本小题满分12分）

（1）证明：由已知得
，解得
，
。

又有

所以
，即

因此数列
是首项为4，公比为2的等比数列。……6分

（2）解：由（1）得等比数列
中
，

所以
，
，

因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，
，
……12分

18．（1）由茎叶图可知：乙班平均身高较高; ………………………………………………3分

（2）
……………5分

甲班的样本方差为

………………8分

p =
=
………………12分

19．（1）∵

∴
∴

∵
∴
∴
平面

且
两两垂直，……1分

故以
为坐标原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系，

∴

设平面
的法向量

∴
∴
……3分

平面
的法向量
∴
……5分

设二面角
的平面角为
，且
为钝角 ∴

∴二面角
的余弦值为
……6分

（2）法一：存在，
是
中点或是
中点；……7分

设
……8分 ∴

∴
……9分

解得
……10分 ∴
或

∴在直线
上存在点
，且
是
中点或是
中点，使得
与平面
所成角的正弦值为
；……12分

法二：存在，
是
中点或是
中点；……7分

设

∴

∴
……9分

解得
……10分 ∴
是
中点或是
中点；

∴在直线
上存在点
，且
是
中点或是
中点，使得
与平面
所成角的正弦值为
； ……12分

20．解：（1）将点（1，1）代入
，得

抛物线方程为
---- 1分

设
，

与抛物线方程
联立得：
---- 2分

…… 3分

由题意有
，

……4分

……5分

（2）设

……- 7分

----8分

同理
----10分

…… 11分

…… 12分

21．解：（1）由
，得
。

令

所以，方程
在区间
内解的个数即为

函数
的图像与直线
交点的个数。

　

当
时,

. ---- 2分

当在区间
内变化时,
,
变化如下:











+

0

－





增



减



当
时，
；当
时，
；当
时，
。

…………---4分

所以，

①当
或
时，该方程无解；

②当
或
时，该方程有一个解；

③当
时，该方程有两个解。　　　　　　…………- 6分

（2）由（1）知

，∴


.

∴


. ……-- 8分

∴

……- 10分

∴

.

∵

.

∴

. …… 12分

22．（1）连接
，可得
，

∴
，又
，∴
，

又
为半径，∴
是圆
的切线……4分

（2）过作
于点
，连接
，

则有
，

。

设
，则
，∴
，

由
可得
，

又由
，可得
。……10分

23．（1）
的普通方程为
，……3分

的直角坐标方程为
……5分

（2）相交，公共弦所在的直线方程
，圆
的圆心到直线的距离为
，

所以公共弦长为
……10分

24．
在
上恒成立，设
，

所以
因此a的最小值为3。……10分