2015年 考前押题试卷（全国新课标II卷）文 科 数 学

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．若复数
是实数，则x的值为

A．-3

B．3

C．0

D．



2．设集合
，
，则

A．

B．

C．

D．



3．
，
，则
的值为

A．

B．

C．

D．



4．下列判断错误的是

A．“
”是“a < b”的充分不必要条件

B．命题“
，
”的否定是“
，
”

C．若p,q均为假命题，则
为假命题

D．若
，则

5．在右图的算法中，如果输入A=138,B=22,则输出的结果是

A．2

B．4

C．128

D．0



6．若椭圆
的离心率为
，则双曲线
的渐近线方程为

A．

B．

C．

D．



 A．
B．
C．
D．

7．已知等差数列
中，
，前7项的和
，则前n项和Sn中

A．前6项和最大

B．前7项和最大



C．前6项和最小

D．前7项和最小



8．已知二项式
（
）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为

A．

B．

C．

D．



9．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是

A．8 + π

B．



C．12 + π

D．



10．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是

A．

B．

C．

D．



11．如图，设平面
，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B、D，若增加个一条件，就能推出BD⊥EF。现有①AC⊥β； ②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF。那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是

A．1个

B．2个



C．3个

D．4个



12．已知
是定义在
上的奇函数，当0 < x < 3时，
那么不等式
的解集是

A．

B．



C．

D．



第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．已知向量
，
，
，
，如果
∥
，则k = __________。

14．在等比数列
中，若公比
，且
，
，则
__________。

15．已知P是抛物线
上的一个动点，过点P作圆
的切线，切点分别为M、N，则
的最小值是__________。

16．已知函数
为奇函数，该函数的部分图象如图所示，
是边长为2的等边三角形，则
的值为__________。

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和为Sn。已知
，
。

（1）设
，证明数列
是等比数列；

（2）求数列
的通项公式。

18．（本小题满分12分）

某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7。

（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；

（2）用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今

年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成

绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；

（3）经过多次测试后，甲成绩在8~10米之间，乙

成绩在9.5~10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比

乙投掷远的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，

点为
中点；

（1）求二面角
的余弦值；

（2）在直线
上是否存在点
，使得
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，求出点
的位置；若不存在，说明理由。

20．（本小题满分12分）

如图，
是抛物线为
上的一点，弦SC，SD分别交x轴于A，B两点，且SA = SB。

（1）求证：直线CD的斜率为定值；

（2）延长DC交x轴于点E，若
，求
的值。

21．（本小题满分12分）

已知函数

（1）若不等式
在区间
内的解的个数；

（2）求证：
。

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22．（本小题满分10分）

选修4-1：几何证明选讲

如图，
是圆
的直径，
是弦，
的平分线
交圆
于点，
，交
的延长线于点，
交
于点。

（1）求证：
是圆
的切线；

（2）若
，求
的值。

23．（本小题满分10分）

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程为
（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为

（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）曲线C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.

24．（本小题满分10分）

选修4-5：不等式选讲

已知关于x的不等式
在
上恒成立，求实数a的最小值；

2015年 考前押题试卷

（全国新课标II卷）

文科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

C

D

A

B

A

A

A

D

B

B



二、填空题

13．

14．

15．

16．



三、解答题

17．（本小题满分12分）

（1）证明：由已知得
，解得
，
。

又有

所以
，即

因此数列
是首项为4，公比为2的等比数列。……6分

（2）解：由（1）得等比数列
中
，

所以
，
，

因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，
，
……12分

18．解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，　　　 　

∴此次测试总人数为
(人).

∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)． (4分)

(2)
=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为
,∴
～
.

，
，

.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　(7分)

所求分布列为

X

0

1

2



P










(9分)

(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为、米，则基本事件满足的区域为

，事件 “甲比乙投掷远的概率”满足

的区域为
，如图所示.

由几何概型
.

19．（1）∵

∴
∴

∵
∴
∴
平面

且
两两垂直，……1分

故以
为坐标原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系，

∴

设平面
的法向量

∴
∴
……3分

平面
的法向量
∴
……5分

设二面角
的平面角为
，且
为钝角 ∴

∴二面角
的余弦值为
……6分

（2）法一：存在，
是
中点或是
中点；……7分

设
……8分 ∴

∴
……9分

解得
……10分 ∴
或

∴在直线
上存在点
，且
是
中点或是
中点，使得
与平面
所成角的正弦值为
；……12分

法二：存在，
是
中点或是
中点；……7分

设

∴

∴
……9分

解得
……10分 ∴
是
中点或是
中点；

∴在直线
上存在点
，且
是
中点或是
中点，使得
与平面
所成角的正弦值为
； ……12分

20．解：（1）将点（1，1）代入
，得

抛物线方程为
---- 1分

设
，

与抛物线方程
联立得：
---- 2分

…… 3分

由题意有
，

……4分

……5分

（2）设

……- 7分

----8分

同理
----10分

…… 11分

…… 12分

21．解：（1）由
，得
。

令

所以，方程
在区间
内解的个数即为

函数
的图像与直线
交点的个数。

　

当
时,

. ---- 2分

当在区间
内变化时,
,
变化如下:











+

0

－





增



减



当
时，
；当
时，
；当
时，
。

…………---4分

所以，

①当
或
时，该方程无解；

②当
或
时，该方程有一个解；

③当
时，该方程有两个解。　　　　　　…………- 6分

（2）由（1）知

，∴


.

∴


. ……-- 8分

∴

……- 10分

∴

.

∵

.

∴

. …… 12分

22．（1）连接
，可得
，

∴
，又
，∴
，

又
为半径，∴
是圆
的切线……4分

（2）过作
于点
，连接
，

则有
，

。

设
，则
，∴
，

由
可得
，

又由
，可得
。……10分

23．（1）
的普通方程为
，……3分

的直角坐标方程为
……5分

（2）相交，公共弦所在的直线方程
，圆
的圆心到直线的距离为
，

所以公共弦长为
……10分

24．
在
上恒成立，设
，

所以
因此a的最小值为3。……10分