2015年高考理科数学最后一模(全国新课标II卷)

说明：

一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

（1）已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B＝

（A）{x|2≤x≤3} （B）{x|2≤x＜3}

（C）{x|2＜x≤3} （D）{x|－1＜x＜3}

（2）＋＝

（A）－1 （B）1 （C）－i （D）i

（3）若向量a、b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60(，a·(a＋b)等于

（A）4 （B）6 （C）2＋ （D）4＋2

（4）等比数列
的前
成等差数列，若a1=1，则S4为

（A）7 （B）8 （C）16 （D）15

（5）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

（A）8＋2 （B）6＋2

（C）8＋2 （D）6＋2

（6）(x2－)6的展开式中的常数项为

（A）15 （B）－15 （C）20 （D）－20

（7）执行右边的程序框图，则输出的S是

（A）5040 （B）4850 （C）2450 （D）2550

（8）已知函数f(x)＝则方程f(x)＋1＝0的实根个数为

（A）3 （B）2 （C）1 （D）0

（9）若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则双曲线的离心率为

（A） （B） （C） （D）

（10）偶函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为奇函数，且f(1)＝1，则f(89)＋f(90) 为

（A）－2 （B）－1 （C）0 （D）1

（11）某方便面厂为了促销，制作了种不同的精美卡片，每袋方便面随机装入一张卡片，

集齐种卡片可获奖，现购买该方便面袋，能获奖的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）给出下列命题:


; 函数
有5个零点;

函数
的图像以
为对称中心;

已知a、b、m、n、x、y均为正数，且a≠b，若a、m、b、x成等差数列，a、n、b、

y成等比数列，则有m> n，x

其中正确命题的个数是

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

（13）由直线x＝1，y＝1－x及曲线y＝ex围成的封闭图形的面积为_________．

（14）数列{an}的通项公式an＝nsin＋1，前n项和为Sn，则S2 015＝__________.

（15）已知x、y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值等于___________．

（16）已知圆O: x2＋y2=8，点A(2，0) ，动点M在圆上，则∠OMA的最大值为__________．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知f(x)=sin(2x－
)＋2cos2x．

（Ⅰ）写出f(x)的对称中心的坐标和单增区间；

（Ⅱ）△ABC三个内角A、B、C所对的边为a、b、c，若f（A）=0，b＋c=2．求a的最小值．

（18）（本小题满分12分）

某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人．

（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？

（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为X，求X的分布列和期望E(X)．

附：

K2＝

P(K2≥k0)

0.010

0.005

0.001





k0

6.635

7.879

10.828





（19）（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC＝，AB＝BB1＝2，∠BCC1＝，点E在棱BB1上.

（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）若BE＝λBB1，试确定λ的值，使得二面角A-C1E-C的余弦值为.

（20）（本小题满分12分）

设抛物线y2=4mx（m >0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1 、F2为焦点，离心率e=的椭圆与抛物线的一个交点为
；自F1引直线交抛物线于P、Q两个不同的点，点P关于x轴的对称点记为M，设
．

（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；

（Ⅱ）若
，求|PQ|的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

已知f(x)＝ex(x－a－1)－＋ax．

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）若x≥0时，f(x)＋4a≥0，求正整数a的值．

参考值：e2≈7.389，e3≈20.086

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，∠C＝90o，BC＝8，AB＝10，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边、AB边分别交于点D、E，连结DE．

（Ⅰ）若BD＝6，求线段DE的长；

（Ⅱ）过点E作半圆O的切线，切线与AC相交于点F，证明：AF＝EF．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知椭圆C：＋＝1，直线l：（t为参数）．

（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；

（Ⅱ）设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－1|．

（Ⅰ）解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；

（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f()．

理科数学参考答案

一、选择题：

CABDA ACBBD DC

二、填空题：

（13） e－； （14）1007； （15）－1； （16）
．

三、解答题：

（17）解：（Ⅰ）化简得：f（x）=cos（2x＋
）＋1 ……………………3分

对称中心为：

单增区间为：
………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

于是：
………………………9分

根据余弦定理：
=

当且仅当
时，a取最小值1． ………………………12分

（18）（Ⅰ）由题意可得列联表：

物理优秀

物理不优秀

总计



数学优秀

60

140

160



数学不优秀

100

500

640



总计

200

600

800



因为k＝＝16.667＞10.828． ……………………6分

所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．

（Ⅱ）每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率0.375．将频率视为概率，即每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率为．由题意可知X(B(3，)，从而X的分布列为

X

0

1

2

3



p











E(X)＝np＝． ………………………12分

（19）解：

（Ⅰ）因为BC＝，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝，

在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B＝， ……………………2分

所以C1B2＋BC2＝CC，C1B⊥BC．

又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，

又CB∩AB＝B，所以C1B⊥平面ABC． …………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC，BA，BC1两两垂直，

以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，

则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(，0，0)，

＝(0，2，－)，＝＋λ＝＋λ＝(－λ，0，λ－)，

设平面AC1E的一个法向量为m＝(x，y，z)，则有

即

令z＝，取m＝(，1，)，………9分

又平面C1EC的一个法向量为n＝(0，1，0)，

所以cos(m，n(＝＝＝，解得λ＝．

所以当λ＝时，二面角A-C1E-C的余弦值为. ………………………12分

（20）解：

（Ⅰ）由题设，得：
①

＝ ②

由①、②解得a2＝4，b2＝3，

椭圆的方程为

易得抛物线的方程是：y2＝4x． …………………………4分

（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2) 、M(x1，－y1) ，

由
得：y1=λy2 

设直线PQ的方程为y＝k(x＋1)，与抛物线的方程联立，得：



y1 y2＝4 

y1＋y2＝
 …………………………7分

由消去y1，y2得：
…………………………8分

由方程得：

化简为：
，代入λ：

∵
，∴
…………………………11分

于是：

那么：
…………………………12分

（21）解：

（Ⅰ）f((x)＝ex(x－a)－x＋a＝(x－a)(ex－1)，

由a＞0，得：

x∈(－∞，0)时，f((x)＞0，f(x)单增；

x∈(0，a)时，f((x)＜0，f(x)单减；

x∈(a，＋∞)时，f((x)＞0，f(x)单增．

所以，f(x)的增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)；减区间为(0，a)． …………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x≥0时，fmin(x)＝f(a)＝－ea＋，

所以f(x)＋4a≥0，得ea－－4a≤0． …………7分

令g(a)＝ea－－4a，则g((a)＝ea－a－4；

令h(a)＝ea－a－4，则h((a)＝ea－1＞0，所以h(a)在(0，＋∞)上是增函数，

又h(1)＝e－5＜0，h(2)＝e2－6＞0，所以(a0∈(1，2)使得h(a0)＝0，

即a∈(0，a0)时，h(a)＜0，g((a)＜0；a∈(a0，＋∞)时，h(a)＞0，g((a)＞0，

所以g(a)在(0，a0)上递减，在(a0，＋∞)递增．

又因为g(1)＝e－－4＜0，g(2)＝e2－10＜0，g(3)＝e3－－12＞0，

所以：a＝1或2. …………12分

（22）解：

（Ⅰ）∵BD是直径，∴∠DEB＝90o，

∴＝＝，∵BD＝6，∴BE＝，

在Rt△BDE中，DE＝＝． …………5分



（Ⅱ）连结OE，∵EF为切线，∴∠OEF＝90o，

∴∠AEF＋∠OEB＝90o，

又∵∠C＝90o，∴∠A＋∠B＝90o，又∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，

∴∠AEF＝∠A，∴AE＝EF． …………10分

（23）解：

（Ⅰ）C：（θ为参数），l：x－y＋9＝0． ……………4分

（Ⅱ）设P(2cosθ，sinθ),

则|AP|＝＝2－cosθ，

P到直线l的距离d＝＝．

由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝，cosθ＝－．

故P(－，)． ……………10分

（24）解：

（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝

当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；

当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；

当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3． …………4分

所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}． …………5分

（Ⅱ）f(ab)＞|a|f()即|ab－1|＞|a－b|． …………6分

因为|a|＜1，|b|＜1，

所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，

所以|ab－1|＞|a－b|．

故所证不等式成立． …………10分