2015北京高考压轴卷文科数学

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.复数
,则
对应的点所在的象限为(?? )

A．第一象限　　　　B．第二象限　　　　　C．第三象限　　　　D．第四象限

2.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则（?UA）∪B=（　　）

　 A． ? B． {1，2，3，4} C． {2，3，4} D． {0，11，2，3，4}

3.已知全集
集合
,则
(? )

A．
?????? B．
????????? C．
??????? D．

4.指数函数
与二次函数
在同一坐标系中的图象可能的是

5.曲线
（为自然对数的底数）在点
处的切线
与轴、轴所围成的三角形的面积为（?? ）

A．
??????? B．
??????? C．???????? D．

6.已知是抛物线
上的一个动点，则点到直线

和

的距离之和的最小值是（?? ）

A．???????? B．
????????? C．??????? D．

7.已知x，y满足约束条件
，若目标函数
的最大值是-3，则实数

??? A．0???B． -l??? C．1????? D．

8.设P为双曲线
的一点，
分别为双曲线C的左、右焦点，若?
? 则△
的内切圆的半径为

? A．
? B．
??? C．
??? D．

9.设等差数列
的前n项和为
,若，
,则

? A．18?????? B．36?????? C．54??????? D．72

10.（5分）函数y=
的图象可能是（　　）

　 A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11.正项等比数列
中，
，
，则数列
的前
项和等于　　　．

12.如图，在
中，
是
边上一点，
，则
的长为????

13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.

14.若
，则
的最大值为　　　　.

15.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是　　；

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

16.（本小题满分12分）设
是锐角三角形，三个内角，，
所对的边分别记为，
，，并且

.

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）若
，
，求
，（其中
）．

17.已知函数
，
.

（1）设
.

① 若函数
在
处的切线过点
，求
的值；

② 当
时，若函数
在
上没有零点，求的取值范围；

（2）设函数
，且
，求证：当
时，
.

18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱
，
，点P、Q分别为
和
的中点.

（I）证明：PQ//平面
；

（II）求三棱锥
的体积.

19.（本小题满分12分）

从某高校男生中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm）情况如下表：

?

?

（I）求
的值；

（II）按表中的身高组别进行分层抽样，从这100名学生中抽取20名担任某国际马拉松志愿者，再从身高不低于175cm的志愿者中随机选出两名担任迎宾工作，求这两名担任迎宾工作的志愿者中至少有一名的身高不低于180cm的概率.

20.（本小题满分12分）

?? 已知函数
，且
。

（1）求曲线
在
处的切线方程；

（2）若存在
使得函数
成立，求实数的取值范围。

21.（12分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+
=0相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点 A，B，设P为椭圆上一点，且满足
（ O为坐标原点），当
时，求实数t的取值范围．

2015北京高考压轴卷数学文word版参考答案

一．DCCBB CBADB

二．11.
????? 12.
?? 13.
14.
15.132

三．16.(Ⅰ)

，

，
．?? …………………………?? 6分

(Ⅱ)
，
，

又
，
，

，
，
．…………………………?? 12分

17.（1）由题意，得
，

所以函数
在
处的切线斜率
，?????????????????????????????? ……………2分

又
，所以函数
在
处的切线方程
，

将点
代入，得
.?????????????????????????????????????????????? ……………4分

（2）方法一：当
，可得
，因为
，所以
，

①当
时，
，函数
在
上单调递增，而
，

所以只需
，解得
，从而
.????????????????? ……………6分

②当
时，由
，解得
，

当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.

所以函数
在
上有最小值为
，

令
，解得
，所以
.

综上所述，
.?????????????????????????????????????????????????? ……………10分

方法二：当
，

①当
时，显然不成立；

②当
且
时，
，令
，则
，当
时，
，函数
单调递减，
时，
，函数
单调递减，当
时，
，函数
单调递增，又
，
，由题意知
.???????????????????????????????????????????????????????????????????????

（3）由题意，
，

而
等价于
，

令
，???????????????????????????????????????????? ……………12分

则
，且
，
，

令
，则
，

因
， 所以
，??????????????????????????????????????????????? ……………14分

所以导数
在
上单调递增，于是
，

从而函数
在
上单调递增，即
.???????????????????? ……………16分

18.

19.

20.

21.【考点】： 椭圆的简单性质．

【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】： （1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a、b的值，代入椭圆方程即可；

（2）设A、B、P的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理及向量知识，即可求t的范围．

解：（1）由题意知
，…1分

所以
．即a2=2b2．…2分

又∵椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+
=0相切，

∴
，…3分，

则a2=2．…4分

故椭圆C的方程为
． …6分

（2）由题意知直线AB的斜率存在．

设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），

由
得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．

△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得
…7分

且
，
．

∵足
，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．

当t=0时，不满足
；

当t≠0时，解得x=
=
，

y=
=
=
，

∵点P在椭圆
上，∴
，

化简得，16k2=t2（1+2k2）…8分

∵
＜
，∴
，

化简得
，

∴
，

∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，解得
，即
，…10分

∵16k2=t2（1+2k2），∴
，…11分

∴
或
，

∴实数取值范围为
…12分

【点评】： 本题考查椭圆的方程、性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的运用，以及平面向量的知识，考查化简、计算能力和分类讨论思想，属于中档题．