2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）数学试卷（理科）

注意事项：

1、本试卷本分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.

2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效.

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集
，集合
，
，则(?U)

（A）
（B）
（C）
（D）

2 ．双曲线
的渐近线方程为

（A）
（B）
（C）
（D）

3．二项式
的展开式中，常数项的值是

（A）
（B）
（C）
（D）

4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是

（A）
（B）

（C）
（D）

5．
表示不重合的两个平面，，
表示不重合的两条直线．若
，
，
，则“
∥”是“
∥且
∥
”的

（A）充分且不必要条件 （B）必要且不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

6．若
，则常数a的值为

（A）1 （B）2 （C）-1 （D）0

7．在
中，
，
，则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）
或

8．设函数
，且其图像关于轴对称，则函数
的一个单调递减区间是

9．在如图所示的空间直角坐标系
中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为

10. 已知
分别为椭圆
的左、右焦点，为椭圆上一点，且
垂直于轴．若
，则该椭圆的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

11. 在△ABC中，AB=1，AC=2，
，点O是△ABC的外心，存在实数
，使
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

12. 已知函数
，对于任意的
，存在实数
使得
，则
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）

数学试卷（理科）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题?第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题?第：24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.

13．是虚数单位，复数
，则
．

14．某校举行的数学建模比赛，全体参赛学生的比赛成绩
近似服从正态分布
，
，参赛学生共600名.若
在
内的取值概率为0.48，那么90分以上（含90分）的学生人数为 .

15．设不等式组
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆
内的概率为___________．

16．设是函数
的图像上任意一点，过点分别向直线
和轴作垂线，垂足分别为
，则
= ___________.

三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（本小题满分12分）

已知数列{
}满足

（I）求{
}的通项公式；

（II）设{
}的前项和为
，证明：
.

18．（本小题满分12分）

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；

（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望
及方差
.

19. （本小题满分12分）

己知三棱柱
，
在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
，
，又知

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求二面角
的余弦值.

20．（本小题满分12分）

已知直线
的方程是
和抛物线
，自
上任意一点
作抛物线的两条切线，设切点分别为
，

（Ⅰ）求证：直线
恒过定点.

（Ⅱ）求△PAB面积的最小值.

21．（本小题满分12分）

已知
．记
的导函数是
.

(Ⅰ)若
，函数
在其定义域内是增函数，求的取值范围；

(Ⅱ)
的图象与轴交于
)两点,
中点为
，求证：
．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，
内接于圆
，
平分
交圆
于点，过点作圆
的切线交直线
于点.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程是
（
为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
.

(Ⅰ)写出
的极坐标方程和
的直角坐标方程；

(Ⅱ)已知点
、
的极坐标分别为
和
，直线
与曲线
相交于
两点，射线
与曲线
相交于点，射线
与曲线
相交于点，求
的值.

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知函数
.（Ⅰ）当
时，解不等式
；（Ⅱ）当
时，
恒成立，求的取值范围.

2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）

数学试卷（理科）参考答案

选择题：BAAD CABC DABC

填空题：13、1；14、12；15、
；16、
.

解答题： 17．（Ⅰ）解：

-------------------5分

（Ⅱ）

设

二式相减得

所以
-----------------8分

因为
，所以
时，
（直接写
不扣分）

所以
---------------10分

所以
-----12分

（当且仅当
时等号“=”成立）

18．解（1）设

里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个.所以
----------------------------------------4分

（2）X可能的取值为0,1,2,3，相应的概率为

---------------------------------------6分

X

0

1

2

3



P

0.064

0.288

0.432

0.216



分布列为:

-----------8分

---------------------------------------12分

19.解（Ⅰ）
得
，

因为
底
，所以

又
，所以
面
，

所以

因为
，
，

所以
底
……………………4分

(Ⅱ)以C为坐标原点，射线CA，CB为别为
轴，过C垂直于底面ABC的直线为轴建立空间直线坐标系（如图），---------------5分

由（Ⅰ）知平面
的法向量为
，-----6分
，

设平面
的法向量为
，则

即
，从而
--------------------------9分

---------------------11分

因为
均指向
外部，所以二面角
的余弦为
-----12分

20．（Ⅰ）证明：设

因为
，所以切线PA的方程是

即
①，同理切线PB的方程是
②--------3分

由①②得
，显然直线AB存在斜率.

设直线AB的方程是
，代入
得

所以
，即
，③

代入
得
-------------------------------------------5分

即直线AB的方程是
，恒过定点
-------------6分

（Ⅱ）解：

--------------------9分

点P到直线AB的距离是
-----10分

△PAB的面积

当
时△PAB的面积取得最小值
-----------------------12分

21解(1)依题意：
．∴

∵
在
上递增，∴
对
恒成立，

即
对
恒成立，只需
． ---------- 3分

∵
，∴
，当且仅当
时取“＝”，

∴
，∴b的取值范围为
． ------------------- 5分

(2)由已知得
两式相减，得

．

由
及
，得

------------8分

令
．

∵
，∴
在
上递减，---------10分

∴
． 又
，
------------- 12分

22. （1）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD ………………2分

又∵AD平分∠BAC ∴∠EBD =∠CAD ………………4分

又