2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）数学试卷（文科）

注意事项：

1、本试卷本分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.

2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效.

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集
，集合
，
，则(?U)

（A）
（B）
（C）
（D）

2.已知
，且
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

3．已知等差数列{
}的公差d≠0，若
成等比数列，那么公比为

（A）
（B）3 （C）
（D）

4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是

（A）
（B）

（C）
（D）

5．
表示不重合的两个平面，，
表示不重合的两条直线．若
，
，
，则“
∥”是“
∥且
∥
”的

（A）充分且不必要条件 （B）必要且不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

6. 一名小学生的年龄和身高（单位：cm)的数据如下：

年龄x

6

7

8

9



身高y

118

126

136

144



由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归直线方程为
，预测该学生10岁时的身高为

（A）154 　 （B）153　 （C）152 　 （D）151

7.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=

（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D）3

8．设函数
，且其图像关于轴对称，则函数
的一个单调递减区间是

9．已知函数
,若
,则
的大小关系为

（A）
（B）
（C）
（D）

10. 已知
分别为椭圆
的左、右焦点，为椭圆上一点，且
垂直于轴．若
，则该椭圆的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

11． 函数
的图象大致为（ ）

12. 在△ABC中，AB=1，AC=2，
，点O是△ABC的外心，存在实数
，使
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）

数学试卷（文科）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题?第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题?第：24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.

13．是虚数单位，复数
，则
．

14．若一个几何体的三视图如图 所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是 _______

15．设变量
满足约束条件
，则
的最大值为 ．

16．已知数列{
}满足
，则{
}的通项公式
________________.

三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（本小题满分12分）

如图，在
中，
，
，
，点在线段
上，且
.

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）求
的值.

18. （本小题满分12分）

某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R（单位：公里）分为3类，即A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：

类型

A

B

C



已行驶总里程不超过5万公里的车辆数

10

40

30



已行驶总里程超过5万公里的车辆数

20

20

20



 （Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，求该车行驶总里程超过5万公里的概率；

（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．

（ⅰ）求n的值；

（ⅱ）如果从这n辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率．

19．（本小题满分12分）

己知三棱柱
，
在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
，
，又知

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求点C到平面
的距离.

20．（本小题满分12分）

已知直线
的方程是
和抛物线
，自
上任意一点
作抛物线的两条切线，设切点分别为
，

（Ⅰ）求证：直线
恒过定点.

（Ⅱ）求△PAB面积的最小值.

21．（本小题满分12分）

已知函数
，

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
在
上恒成立，求的最大值与
的最小值.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，
内接于圆
，
平分
交圆
于点，过点作圆
的切线交直线
于点.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程是
（
为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
.

(Ⅰ)写出
的极坐标方程和
的直角坐标方程；

(Ⅱ)已知点
、
的极坐标分别为
、
，直线
与曲线
相交于
，射线
与曲线
交于点，射线
与曲线
交于点，求
的值.

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知函数
.（Ⅰ）当
时，解不等式
；（Ⅱ）当
时，
恒成立，求的取值范围.

．

2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）

数学试卷（文科）参考答案

选择题：BABD CBDC CDAB

填空题：13、1；14、
；15、6；16、
.

解答题： 17．（Ⅰ）解：因为
，
，
，

所以
，
，
，……………… 3分

又因为
，所以
，
.

在
中，由余弦定理，得

… 6分

所以
. ……………… 7分

（Ⅱ）在
中，由正弦定理，得
，

所以
， 即
. ……… 12分

18．解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为
． ……………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）依题意
． ……………………6分

（ⅱ）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A，B，C；

5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M，N．

“从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种：

AB，AC ，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．---------------------8分

“从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种：

AM，AN，BM，BN，CM，CN．

设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D，--------10分

则
．………………… 12分

19.解（Ⅰ）
得
，因为
底
，所以
， …………2分

又
，所以
面
，

所以
………………………………4分

因为
，
，

所以
底
………………………………6分

（Ⅱ）解法1.由（Ⅰ）得
，所以
是菱形，

即
，
，…………8分

由
，得
…………………12分

（解法2）作
于点，连
作
，

因为
平面
，所以
，

又
，
，所以
平面
， ………………8分

又
面
，所以
，

而
，所以
平面
，……………………………………10分

中，
，

因为是
中点，所以到面
距离
……………………12分

20．（Ⅰ）证明：设

因为
，所以切线PA的方程是

即
①， 同理切线PB的方程是
②--------3分

由①②得
，显然直线AB存在斜率.

设直线AB的方程是
，代入
得

所以
，------------- 5分

即直线AB的方程是
，恒过定点
-------------6分

（Ⅱ）解：

--------------------9分

点P到直线AB的距离是
-----10分

△PAB的面积

当
时△PAB的面积取得最小值-----------------------12分

21．解：（I）由

得
.

因为在区间
上

，所以
在区间
上单调递减.

从而

.------------------------------4分

（Ⅱ）当
时，“
”等价于“
”;

”等价于“
”.-------------------6分

令

，则

，

当
时，
对任意
恒成立.-------7分

当
时，因为对任意
，


，

所以
在区间
上单调递减.

从而

对任意
恒成立.----------------------8分

当
时，存在唯一的
使得