2015北京高考压轴卷理科数学

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.复数
,则
对应的点所在的象限为(?? )

A．第一象限　　　　B．第二象限　　　　　C．第三象限　　　　D．第四象限

2.设全集U={0，1， 2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则（?UA）∪B=（　　）

　 A． ? B． {1，2，3，4} C． {2，3，4} D． {0，11，2，3，4}

3.已知全集
集合
,则
(? )

A．
?????? B．
????? C．
??????? D．

4.指数函数
与二次函数
在同一坐标系中的图象可能的是

5.曲线
（为自然对数的底数）在点
处的切线
与轴、轴所围成的三角形的面积为（?? ）

A．
????? B．
???? C．??????? D．

6.设随机变量
服从正态分布
,若
,则
的值为(? )

A．
????? B．
???? C．
?????? D．

7.已知x，y满足约束条件
且目标函数
的最大值为-6，则
的取值范罔是

? A.
??? B.

? C.
???? D.

8.如图，
为等腰直角三角形，
，
为斜边
的高，点在射线
上，则
的最小值为

A．
??? B．
C．
??????? D．

9.已知是抛物线
上的一个动点，则点到直线

和

的距离之和的最小值是（?? ）

A．??????? B．
???????? C．?????? D．

10.已知函数f（x）=
，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（　　）

　 A． 当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点

　 B． 当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点

　 C． 无论k为何值，均有3个零点

　 D． 无论k为何值，均有4个零点

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11.正项等比数列
中，
，
，则数列
的前
项和等于　　　．

12.如图，在
中，
是
边上一点，
，则
的长为????

13.已知实数x，y满足x>y>0，且x+y2，则
的最小值为?? ▲?? ．

14.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.

15.设函数
的定义域分别为
，且
，若对于任意
，都有
，则称函数
为
在
上的一个延拓函数．设
，
为
在R上的一个延拓函数，且g(x)是奇函数．给出以下命题：

? ①当
时，
????? ②函数g(x)有5个零点；

? ③
的解集为
；? ④函数
的极大值为1，极小值为-1;

? ⑤
，都有
.

? 其中正确的命题是________．（填上所有正确的命题序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

16.（本小题满分12分）设
是锐角三角形，三个内角，，
所对的边分别记为，
，，并且

.

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）若
，
，求
，（其中
）．

17.（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥
的底面为菱形，
.

（1）求证：
;

（II）求二面角
的余弦值.

18.(本题满分12分） 甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是
，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是
,乙、丙两人同时能被聘用的概率为
,且三人各自能否被聘用相互独立.

(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率;

(2) 设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)

19.（本小题满分10分）

?? 已知
是数列
的前n项和，且

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，记
是数列
的前n项和，证明：
。

20.（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合，过点
且不垂直于轴的直线
与椭圆
相交于
两点。

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的取值范围。

21.已知函数
，
.

（1）设
.

① 若函数
在
处的切线过点
，求
的值；

② 当
时，若函数
在
上没有零点，求的取值范围；

（2）设函数
，且
，求证：当
时，
.

 2015北京市高考压轴卷数学理word版参考答案

一．DCBCB BCBCC

二．11.1022； 12.
13.
14.
15.①③⑤

16.(Ⅰ)

，

，
．?? …………………………?? 6分

(Ⅱ)
，
，

又
，
，

，
，
．…………………………?? 12分

17.

18.【知识点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．K5 K6

(1)
(2) 见解析

解析：(1)设乙、丙两人各自被聘用的概率分别为P1、P2,

则甲、丙两人同时不能被聘用的概率是(1-)·(1-P2)=
,2分

解得P2=,3分

乙、丙两人同时能被聘用的概率为P1·P2=
∴P1=,5分

因此乙、丙两人各自被聘用的概率分别为、.6分

(2)ξ的可能取值有1、3,7分

则P(ξ+×(1-)×+××(1-)=
,8分

P(ξ=3)= (1-)×(1-)×(1-)+××=
,9分

因此随机变量ξ的分布列如表所示

ξ

1

3



P







所以随机变量ξ的均值(即数学期望)E(ξ)=1×
+3×
=
.12分

【思路点拨】（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，由已知A1，A2，A3相互独立，由此能求出乙，丙各自能被聘用的概率．（2）ξ的可能取值为1，3．分别求出P（ξ=1）和P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

19.

20.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．H5 H8

（1）
；（2）
?

解析：（1）由题意知
，

。又双曲线的焦点坐标为
，
，

椭圆的方程为
。

（2）若直线
的倾斜角为
，则
，

当直线
的倾斜角不为
时，直线
可设为
，

，由

设
，
，

，
，综上所述：范围为
，

【思路点拨】（1）由双曲线
=1得焦点
，得b=
．又
，a2=b2+c2，联立解得即可；（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），与椭圆方程联立得到，（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△＞0得
．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系可得
=x1x2+y1y2，进而得到取值范围．

21.（1）由题意，得
，

所以函数
在
处的切线斜率
，?????????????????????????????? ……………2分

又
，所以函数
在
处的切线方程
，

将点
代入，得
.?????????????????????????????????????????????? ……………4分

（2）方法一：当
，可得
，因为
，所以
，

①当
时，
，函数
在
上单调递增，而
，

所以只需
，解得
，从而
.????????????????? ……………6分

②当
时，由
，解得
，

当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.

所以函数
在
上有最小值为
，

令
，解得
，所以
.

综上所述，
.?????????????????????????????????????????????????? ……………10分

方法二：当
，

①当
时，显然不成立；

②当
且
时，
，令
，则
，当
时，
，函数
单调递减，
时，
，函数
单调递减，当
时，
，函数
单调递增，又
，
，由题意知
.???????????????????????????????????????????????????????????????????????

（3）由题意，
，

而
等价于
，

令
，???????????????????????????????????????????? ……………12分

则
，且
，
，

令
，则
，

因
， 所以
，??????????????????????????????????????????????? ……………14分

所以导数
在
上单调递增，于是
，

从而函数
在
上单调递增，即
.???????????????????? ……………16分