北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）

高三数学（理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

（1）

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）设
，
，
，则，
，的大小关系是

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）已知
为各项都是正数的等比数列，若
，则

（A） （B）

（C）
（D）

（4）甲、乙两名同学
次数学测验成绩如茎叶图所示，
分别表示甲、乙两名同学
次数学测验成绩的平均数，
分别表示甲、乙两名同学
次数学测验成绩的标准差，则有

（A）
，

（B）
，

（C）
，

（D）
，

（5）已知，是简单命题，那么“
是真命题”是“
是真命题”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）若实数
满足不等式组
则
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）定义在上的函数
满足
.当
时，
,当
时，
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为
，其中
（
），传输信息为
，
，
，
运算规则为：
，
，
，
．例如原信息为
，则传输信息为
．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是

（A）
（B）

（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）若
的二项展开式中各项的二项式系数的和是
，则
，展开式中的常数项为 ．（用数字作答）

（10）已知正数
满足
，那么
的最小值为 ．

（11）若直线
为参数
与曲线
为参数，

有且只有一个公共点，则
．

（12）若双曲线
截抛物线
的准线所得线段长为
，则
．

（13）已知非零向量
满足
，与
的夹角为
，则
的取值范围是 ．

（14）如图，平面中两条直线
和
相交于点
，对于平面上任意一点
，若
分别是
到直线
和
的距离，则称有序非负实数对
是点
的“距离坐标”．

给出下列四个命题：

① 若
，则“距离坐标”为
的点有且仅有个．

② 若
，且
，则“距离坐标”为
的点有且仅有个．

③ 若
，则“距离坐标”为
的点有且仅有个．

④ 若
，则点
的轨迹是一条过
点的直线．

其中所有正确命题的序号为 ．

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的定义域及其最大值；

（Ⅱ）求
在
上的单调递增区间．

（16）（本小题共13分）

某校高一年级开设，，
，，五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选课程，不选课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．

（Ⅰ）求甲同学选中
课程且乙同学未选中
课程的概率；

（Ⅱ）用
表示甲、乙、丙选中
课程的人数之和，求
的分布列和数学期望．

（17）（本小题共14分）

如图，三棱柱
的侧面
是边长为的正方形，侧面
侧面
，
，
，
是
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点，使二面角
为
，若存在，求
的长；若不存在，说明理由．

（18）（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求
在区间
上的最小值；

（Ⅱ）求证：存在实数
，有
.

（19）（本小题共13分）

已知椭圆
的中心在原点
，焦点在轴上，离心率为
，且椭圆
上的点到两个焦点的距离之和为．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设为椭圆
的左顶点，过点的直线
与椭圆交于点
，与轴交于点
，过原点与
平行的直线与椭圆交于点．证明：
．

（20）（本小题共14分）

已知数列
的前项和为
，且满足
，
，设
，
．

(Ⅰ)求证：数列
是等比数列；

(Ⅱ)若
，
，求实数的最小值；

（Ⅲ）当
时，给出一个新数列
，其中
设这个新数列的前项和为
，若
可以写成
(
且
)的形式，则称
为“指数型和”．问
中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．

北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）B （4）B

（5）D （6）D （7）A （8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）

（10）

（11）
（12）

（13）
（14）（1）（2）（3）

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）由
，得
．

所以
的定义域为
． …………………2分

因为
，

， …………………6分

所以
的最大值为
． …………………7分

（Ⅱ）函数
的单调递增区间为
（
）

由
，
，且
，

所以
在
上的单调递增区间为
． ……13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）设事件为“甲同学选中
课程”，事件为“乙同学选中
课程”．

则
，
．

因为事件与相互独立，

所以甲同学选中
课程且乙同学未选中
课程的概率为

． …………………4分

（Ⅱ）设事件
为“丙同学选中
课程”．

则
．

的可能取值为：
．

．

．

．

．

为分布列为：

























．………13分

（17）（共14分）

（Ⅰ）证明：连接
与
相交于
，则
为
的中点，连接
．

因为
为
的中点，

所以
∥
．

因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
． ………4分

（Ⅱ）证明：
，
，在△
中，
，
．

因为
，

所以
．

因为侧面
侧面
，

侧面
侧面
，

平面
，

所以
平面
． ………8分

（Ⅲ）解：
两两互相垂直，建立空间直角坐标系
．

假设在线段
上存在一点，使二面角
为
．

平面
的法向量
，设
．

．

所以
，
．

设平面