北京市西城区2015 年高三二模试卷数学（理科）2015.5

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分．考试时

长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷

和答题纸一并交回．

1．设集合
，集合
?，则 A
B ＝（ ）

A．（－1? 3）? B．（1? 3］? 　C．［1? 3）? D．（－1? 3］

2．已知平面向量

，则

实数k ＝（ ）

A．4 　　　　　　　B．－4 　　　　　C．8 　　　　D．－8

3．设命题 p ：函数
在R上为增函数；命题q：函数
为奇函数．则

下列命题中真命题是（ ）

4．执行如图所示的程序框图，若输入的
，则输出的s属于（ ）

A． {1? 2}? B．{1? 3}? C．{2 ? 3}? D．{1? 3? 9}?

5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x

满足函数关系
，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为

（ ）

A．3 　　　　B．4 　　　　C．5 　　　　　D．6

6．数列
为等差数列，满足
，则数列
前21 项的和等于（ ）

A．
　　B．21 　　C．42　　　　 D．84

7．若“ x ＞1 ”是“不等式
成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）

A．a ＞3 　　　　B．a ＜ 3 　　C．a ＞ 4 　　D．a ＜ 4

8．在长方体
，点M 为AB1 的中点，点P 为对

角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P ，Q可以重合），则MP＋PQ 的最

小值为（ ）

第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）

二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．

9．复数
＝＿＿＿＿

10．双曲线C ：
的离心率为　　　　；渐近线的方程为　　　　　．

11．已知角的终边经过点（－3，4），则cos＝?　　　　 ；cos 2＝　　　　 ．

12．如图，P 为
O 外一点，PA是切线， A为切点，割线PBC 与
O 相交于点B、C ，

且 PC ＝ 2PA ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交
O 于点 E ．若PB ＝
? ，则

PA ＝　　　　　　；AD·DE ＝　　　　　　．

13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有　　　　

种．（用数字作答）

14．如图，正方形ABCD 的边长为2， O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺

时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记
，OP 所经过的在正方

形 ABCD内的区域（阴影部分）的面积S ＝ f （x），那么对于函数f （x）有以下三个结论：

①
；

②任意
，都有

③任意

其中所有正确结论的序号是　　　　　．

三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤．

15．（本小题满分13 分）

在锐角△ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ＝
，b ＝3，

．

（Ⅰ） 求角A 的大小；

（Ⅱ） 求△ABC 的面积．

16．（本小题满分13 分）

某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这

10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．

为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名

为该型号电视机的“星级卖场”．

（Ⅰ）当a ＝ b ＝ 3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级

卖场”数量为n ，比较m ， n 的大小关系；

（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”

的个数，求X 的分布列和数学期望．

（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达

到最小值．（只需写出结论）

17．（本小题满分14 分）

如图 1，在边长为4 的菱形ABCD中，
于点E ，将△ADE沿DE

折起到
的位置，使
，如图 2．

⑴ 求证：
平面BCDE ；

⑵ 求二面角
的余弦值；

⑶ 判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面
？若存在，求出
的

值；若不存在，说明理由．

18．（本小题满分13 分）

已知函数
，其中a R ．

⑴ 当
时，求 f (x)的单调区间；

⑵ 当a＞ 0时，证明：存在实数m ＞ 0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．

19．（本小题满分14 分）

设
分别为椭圆E：
的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，

点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB｜＝2．

⑴ 若椭圆E 的离心率为
，求椭圆E 的方程；

⑵ 设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线
与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为

直径的圆经过点F1，证明：

20．（本小题满分13 分）

无穷数列 P ：
，满足
，对于数列P ，记

，其中
表示集合
中最小的数．

（Ⅰ） 若数列P :1? 3? 4 ? 7 ? …，写出
；

（Ⅱ）若
，求数列P 前n项的和；

（Ⅲ）已知
＝46，求
的值．