2015年高三校际联合检测文科数学

2015.05

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案写在试卷上无效．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

第I卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.在复平面内，复数
（i是虚数单位）对应的点在

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.已知集合

A.
B.
C.
D.

3.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1，2，…，1000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50人中，编号落入区间
的人做问卷A，编号落入区间
的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为

A.12 B.13 C.14 D.15

4.函数
（e=2.71828…为自然对数的底数）的部分图象大致是

5.下列说法不正确的是

A.若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题

B.命题“
”的否定是“
”

C.“
”是“
为偶函数”的充要条件

D.当
时，幂函数
上单调递减

6.执行如图所示的程序框图，输出的T=

A.29 B.44 C.52 D.62

7.将函数
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是

A.
B.

C.
D.

8.变量
满足线性约束条件
目标函数
仅在点
取得最小值，则k的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9.函数
的所有零点之和为

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

10.对于函数
，部分
的对应关系如下表：

数列
满足：
，且对于任意
，点
都在函数
的图象上，则

A.7539 B. 7546 C.7549 D.7554

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知函数
的值是_________.

12.已知双曲线
的左焦点
，右焦点
，离心率
.

若点P为双曲线C右支上一点，则
__________.

13.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______.

14.已知实数
满足
，则
的最小值为________.

15.在平面直角坐标系
中，设直线
与圆
交于A,B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足
______.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分12分）

在
中，已知
.

（I）求sinA与
的值；

（II）若角A,B,C的对边分别为
的值.

17. （本小题满分12分）

某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组
，第二组
，……，第五组
.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（I）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；

（II）设m,n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知
求事件“
”发生的概率.

18. （本小题满分12分）

是边长为4的等边三角形，
是等腰直角三角形，
，平面
平面ABD，且
平面ABC，EC=2.

（I）证明：DE//平面ABC；

（II）证明：
.

19. （本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）设集合
，等差数列
的任一项
，其中
是
中的最小数，
，求数列
的通项公式.

20. （本小题满分13分）

已知以C为圆心的动圆过定点
，且与圆
（B为圆心）相切，点C的轨迹为曲线T.设Q为曲线T上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ（O为坐标原点）的平行线交曲线T于M,N两点.

（I）求曲线T的方程；

（II）是否存在常数
，使
总成立？若存在，求
；若不存在，说明理由.

21. （本小题满分14分）

已知函数
..

（I）若
，求函数
的最大值；

（II）令
，求函数
的单调区间；

（III）若
，正实数
满足
，证明
..

2015年高三校际联合检测文科数学参考答案

一、选择题：BAACC ADCDD

（1）【答案】 B【解析】
,它在复平面内对应的点为
，在第二象限.

（2）【答案】 A【解析】
.

（3）【答案】 A【解析】若采用系统抽样方法从
人中抽取
人做问卷调查，则需要分为

组，每组
人，若第一组抽到的号码为
，则以后每组抽取的号码分别为
，
，
，

，
，……，所以编号落入区间
的有
人，编号落入区间
的有

人，所以做问卷
的有
人．

（4）【答案】 C【解析】函数
为偶函数，排除A,B；
，排除D,选C.

（5） 【答案】 C【解析】A:若“p且q”为假，则p,q至少有一个是假命题，正确；B:命题“
，

”的否定是“
，
”，正确；C:“
”是“

为偶函数”的充分不必要条件，故C错误；D:
时，幂函数
在
上单调

递减，正确．故选：C.

（6）【答案】 A【解析】执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，

不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8，不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17，

不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29，满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．

（7）【答案】 D【解析】将函数
的图象上各点

的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得函数

,其对称轴方程为

，故选D.

（8）【答案】 C【解析】作出不等式组对应的平面区域，

由z=kx-y得y=kx-z，要使目标函数z=kx-y仅在点

A（0，2）处取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kx-z

的下方，∴目标函数的斜率k满足
.

（9）【答案】 D【解析】函数

的零点即方程
的解，即函数
与

图象交点的横坐标，由图象知
为两函数的对称中心，结合图象可得.

（10）【答案】 D【解析】
由此可知，数列
满足

，
.

二、填空题： （11）
； (12)8； (13)
；(14)
； (15)
.

(11)【答案】
【解析】
，

(12)【答案】
【解析】由题意

(13)【答案】
【解析】由图知此几何体为边长为的正方体裁去一个三棱锥（如右图），

所以此几何体的体积为

(14)【答案】
【解析】

(15)【答案】
【解析】：
，

即：
，整理化简得：
.过点
作

的垂线交
于，则
，得
，

又圆心到直线的距离为
，所以
，所以

，
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

（16）解：（Ⅰ）∵
，
，

又∵
，
.

∵
，且
，

.………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由正弦定理得
，
，……………………………8分

另由
得
，

解得
或
（舍去），

，
. ………………………………………………………………12分

（17）解：（Ⅰ）由直方图知，成绩在
内的人数为：
（人），

所以该班成绩良好的人数为
人. ……………………………4分

（Ⅱ）由直方图知，成绩在
的人数为
人， 设为, ,；

成绩在
的人数为
人，设为, ,
,.

若
时，有

种情况； ……………………………6分

若
时，有

种情况； …………………8分

若
分别在
和
内时，

A

B

C

D



x

xA

xB

xC

xD



y

yA

yB

yC

yD



z

zA

zB

zC

zD



 共有
种情况.

所以基本事件总数为
种，事件“
”所包含的基本事件个数有
种.

∴
. ………………………12分

(18) 证明：（Ⅰ）取
的中点
，连结
、
，

∵
是等腰直角三角形，
，
，

， 又∵平面
平面
，

平面

平面

，
平面
，

由已知得
平面
，

，又
，

四边形
为平行四边形，

， ……………………………………4分

而
平面
，
平面
，

平面
. ………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）∵
为
的中点，
为等边三角形，

，

又∵平面
平面
， 平面

平面

平面
，而
平面